平移不变空间中压缩采样理论及算法研究

Signal sampling is a bridge from the analog world to digital world. It is well known that the Shannon sampling theorem has been the dominance of signal sampling over the years, with the shortcoming of large volume data transmission and storage. Recently, compressive sampling is emerging as a novel sampling theory based on which one can realize the signal sampling at a speed large below the Nyquist. However, the standard compressive sampling is currently only a finite-dimensional theory devoting to the recovery of finite-length signals that are sparse or compressible in a particular basis. There remains a prominent gap between the standard compressive sampling framework and the problem of sampling a continuous-time signal. By dealing with the signals in shift-invariant spaces over a finite interval and combining with the properties of generating functions, we try to develop the theories and algorithms of acquiring continuous-time signals from incomplete measurements within the standard compressive sampling framework. In addtion to retaining the structure and simplicity of bandlimited signals, shift-invariant spaces has the advantage of modeling non-bandlimited signals that are more amenable to numerical implementation, and are more flexible for approximating real data. The successful implement of the project would carve out a new way from the perspective of integrating theory with practice for the problem of sampling continuous-time signals.

信号采样是模拟的物理世界通向数字的信息世界的桥梁。多年来，指导信号采样的理论基础一直是著名的Shannon采样定理，但其产生的大量数据造成了存储空间的浪费。近年来出现了一种新颖的采样理论-压缩采样，它能够以远低于Nyquist速率采样信号。然而，标准的压缩采样是一种有限维理论，其仅适用于在某一个基下为稀疏的或可压缩的有限长离散信号。压缩采样理论框架与连续时间信号的采样之间有一个明显的空白。本项目试图针对有限时间范围上平移不变空间中的信号，结合平移不变空间生成函数的性质，在标准压缩采样理论框架下讨论由不完全采样数据重建连续时间信号的理论及算法。平移不变空间的优点是在保留带限信号类的结构与简单性的基础上，它还可以建模更易于数值实现的非带限信号类，对真实数据的逼近具有很强的灵活性。该项目的成功实施，将为进一步从理论和实际的结合上研究连续时间信号采样问题开拓新的思路。

本项目基本按照研究计划执行，围绕由不完全采样数据重建平移不变空间中信号的理论及算法开展研究工作。具体工作包括以下五个部分：.1. 我们推广了经典的Shannon采样定理，提出了一种基于Sinc函数帕德逼近的采样公式。我们选取Sinc函数的帕德逼近作为Sinc函数的收敛因子，既保持了Sinc函数在整数结点上的性质，又加快了采样级数的收敛速度。数值实验表明，这种基于Sinc函数帕德逼近的采样级数可以达到很高的逼近精度。我们相信这种推广的Shannon采样级数在信息与通信领域具有广泛的应用前景。.2. 提出了一种基于平移不变核函数的排序函数的重建算法。通过计算平移不变核函数在不完全随机采样数据集上生成矩阵的特征对，我们给出经验特征函数及特征值的计算方法。我们引入一个参数用以控制生成假设空间的经验特征函数的数量。分析表明，这种基于平移不变核函数的排序函数重建方法具有很高的逼近精度。.3. 给出了排序函数一种基于平移不变核函数的稀疏重建方法。为利用L1范数最小化方法重建排序函数，首先由平移不变核函数在不完全随机采样数据集上形成一个核矩阵，然后通过计算该矩阵的特征值和特征向量得到基于核函数的经验特征空间的一组标准正交基，最后利用L1范数正则化方法，给出了排序函数在此经验特征空间中的一种显示重构表达式。我们还建立了这种基于平移不变核函数的稀疏重建算法的收敛阶。.4. 提出了一种新的基于Legendre多项式的导数重建算法。为充分利用Legendre多项式的正交性，与以往Legendre多项式导数重建算法不同，新算法在一个加权L2空间中讨论导数重建问题。我们证明了新导数重建算法具有更好的收敛速率。数值实验也表明此算法十分有效。.5. 提出了一种基于多元样条拟插值的符号距离函数重构方法。与传统方法不同，由于II型三角剖分具有非均匀性，我们的方法是一种自适应的重建算法。由于不需要计算导数，算法比较简单易于计算机实现。另外，该算法所得到的近似函数具有低次数和高光滑性的特点。我们将此算法应用到曲线的裁剪偏移问题上，数值实验表明这种基于多元样条拟插值的符号距离函数重构算法十分有效。. 共发表论文8篇，其中SCI检索5篇， EI检索2篇。项目组成员共参加国内外学术会议4人次，出国（境）学术访问3人次。培养博士研究生3人，硕士研究生1人。