平移不变子空间的结构

The shift invariant subspaces are very useful, practical model.They have applications throughout mathematics and engineering. The structure of shift invariant subspaces is active field of study. The stability and invariance of shift invariant subspaces are fundamental problems in the structure of shift invariant subspaces. For stability of shift invariant subspaces, almost all the study is on the stability of entries of vectors in shift invariant subspaces generated by refinable vectors. Instead of studying the stability of entries of vectors, we will study the stability of vectors themselves where they are considered as elements of super Hilbert spaces. We hope to construct wavelet properties better by vector stability. For invariance of shift invariant subspaces, known results are characterizations of invariance of shift invariant subspaces in L2. For invariance of shift invariant subspaces in Lp, known results are much little. We will study invariance of shift invariant subspaces in Lp. We hope to give characterizations of invariance of shift invariant subspaces in Lp. Finally, we will apply the characterizations to the sampling theorem and hopefully give new reconstruction algorithm.

平移不变子空间在数学和工程中都有广泛的应用，是非常有用符合实际的模型。平移不变子空间的结构是平移不变子空间中比较活跃的一个研究领域。平移不变子空间的稳定性与不变性是平移不变子空间结构研究的基本问题。对于平移不变子空间的稳定性，主要研究的是由细分向量生成的平移不变子空间的稳定性，但目前几乎所有的学者研究的是标量稳定性，我们将研究向量稳定性，即把空间中的函数看做超级 Hilbert 空间中的一个元素来研究其稳定性，希望能利用向量稳定性构造出性质更好的小波。对于平移不变子空间的不变性，目前的结果只是给出 L2 中平移不变子空间不变性的刻画，对 Lp 中平移不变子空间不变性方面的结果还很少。我们将研究 Lp 中平移不变子空间的不变性，希望能给出 Lp 中平移不变子空间不变性的刻画，把 Lp 中平移不变子空间不变性的刻画应用于采样定理，并且给出新的采样重构算法。

项目主持人在本项目的资助下，与项目组成员给出了一元单生成细分向量向量稳定性的刻画和一元多生成细分向量向量稳定性的刻画，证明了混合勒比格空间 Lp,q 中的平移不变子空间是有定义的，并且给出了混合勒比格空间中的平移不变子空间上的非一致采样定理。我们研究了多生成平移不变子空间上的动态采样定理，给出了稳定重构多生成平移不变子空间中的信号的充分必要条件。我们研究了平移不变子空间和 l2 空间上的周期非一致动态采样定理，给出了稳定重构多生成平移不变子空间和 l2 空间中的信号的充分必要条件。我们研究了混合勒比格空间 Lp,q 中有限个函数整平移的 Lp,q 稳定性，给出了混合勒比格空间 Lp,q 中有限个函数整平移的 Lp,q 稳定性的充分必要条件，用生成元与序列的半卷积得到了混合勒比格空间Lp,q中平移不变子空间的结构的刻画。我们在线性正则变换域下，利用线性正则变换和傅里叶变换的关系得到了 Zak 变换和测不准原理的新结果。