矩阵分析中的模式问题研究

We will study the following topics:.(I) Total signed compound patterns..(II) The minimum rank problem for sign patterns. .(III) The minimum rank problem for zero-nonzero patterns..(IV) Spectrally arbitrary sign patterns. An important problem is the 2n conjecture posed by Britz et al in 2004. .(V) Diagonalizable sign patterns. .(VI) Entry patterns that require or allow all real eigenvalues...The research has potential applications in high accuracy matrix computations and error analysis..We have already done some work on related topics and thus we are well prepared for further investigations. In research methods we will use matrix techniques and tools from graph theory, combinatorics, algebra and functional analysis. We expect to have new ideas in this research.

我们将研究以下课题：.(I) 矩阵的总体符号复合模式。 (II) 关于矩阵的符号模式的最小秩问题。(III) 关于零－非零模式的最小秩问题。(IV) 谱任意符号模式。一个重要问题是由Britz等人在2004年提出的2n猜想。(V) 可对角化符号模式。(VI) 要求和允许全部实特征值的元素模式。..这些研究在矩阵高精度计算和误差分析等领域有潜在的应用。.在相关课题上我们已经做出了一些工作，有一定的研究基础。我们在研究方法上将综合运用矩阵分析的技巧和图论、组合、代数、泛函分析等工具，并且期待着在研究过程中产生新思想。

我们研究了关于图的结构的若干问题, 获得了一批有价值的成果, 它们在相关领域比如组合矩阵论有潜在的应用。 我们完成了 11 篇论文。（1）我们解决了Hedetniemi 和 Lewis 在2013年提出的关于图的顶点类型的三个问题。实际上我们得到了更详细的结果。（2）解决了1973年Ostrand 提出的一个基本问题：给定半径和直径的图的围长的最大值是多少？我们还证明了关于图的块的直径的一个结果，那个结果立刻推出Ostrand提出的另外一个问题的答案。（3）解决了Beineke, Dunbar 和 Frick 在2005年提出的关于迂回饱和图的围长的三个问题。（4) 给出了经典的关于给定阶数和直径的图的最大边数的Ore定理的一个简短的新证明。（5) 解决了2011年 Shang和Lin提出的关于树和一般连通图的地位序列的两个猜想。（6) 我们确定了树的叶子个数和它的直径之间的精确关系, 彻底解决了这个由 Lesniak 在1975年开始研究的基本问题。（7）确定了给定阶数的哈密尔顿阈值图的哈密尔顿圈的最小可能的个数以及对应的极图。（8) 证明了 Dutton, Medidi 和 Brigham 在1995年提出的关于半径极大图的直径和半径之间关系的一个猜想。（9）解决了杰出数学家 Erdos 在1990年提出的关于图兰数的一个问题。（10）确定了给定阶数和半径的图的中心的可能大小。（11）确定了书图对于某些阶数的图兰数和对应的极图。