关于矩阵元素的组合分析

我们将研究以下课题：.(I) 部分矩阵的填充，包括1）部分矩阵填充后可能取到的奇异值；2）部分矩阵填充后可能取到的各种范数值，特别是酉不变范数例如谱范数；3）部分矩阵填充为正规矩阵的问题。.(II)矩阵分解的元素继承现象，主要考虑在数值分析中十分有用的那些矩阵分解比如 LU分解、Schur分解、QR分解、奇异值分解、极分解等。.(III) 谱任意符号模式。第一步的研究计划是试着找到尽可能多的谱任意符号模式，然后从中看出某些共同的规律，再提出猜想，最后证明猜想或者需要修改猜想再证明，最终给出简明的那种模式应该满足的充要条件。一个重要问题是由Britz等人在2004年提出的2n猜想。..我们在研究方法上将综合运用矩阵论的技巧和图论、组合、泛函分析、以及可能的代数工具，并且期待着在研究过程中产生新思想。

项目按计划完成。.在部分矩阵的填充、约当标准型的非对角极大稀疏性和多项式的伙伴矩阵的极大稀疏性、有向图在有途径限制条件下弧的最大条数、0－1矩阵的乘方、幂零符号模式等课题上获得了一系列结果。.出版书1本，发表论文12篇（都在SCI 杂志上）。项目主持人培养博士两名、硕士4名。项目组成员参加了多次学术会议并讲报告。.我们邀请了国外和国内几位著名学者来短期访问和讲学。