随机矩阵理论中若干渐进问题的研究--复分析方法

Random matrices, i.e., the matrix-valued random variables, are widely used to model complex interacting systems in physics, and have deep connections with many other fields like pure mathematics (including number theory, combinatorics, representation theory etc.), wireless communication and so on, which imply the importance of study. The main aim of the proposed project is to study some asymptotic problems arising from random matrix theory with tools of complex/classical analysis such as Riemann-Hilbert approach, asymptotic methods, theory of special functions etc.. One topic is to investigate the asymptotic behavior of multiple orthogonal polynomials and correlation kernels arising from the study of limiting mean distribution of squared singular values for the products of random matrices. The other topic is to study the asymptotics of Fredholm determinants associated with certain non-classical integrable kernels and related problems, in which the motivation comes from the fact they represent the gap probability in certain random matrix models.

随机矩阵，即取矩阵值的随机变量，在物理学中被广泛用于模拟各种具有交互作用的复杂系统，并且与纯数学（如数论，组合数学，表示论等）以及无线通信等多个领域有着深刻的联系，因而具有重要的研究意义。本项目拟综合利用复分析和经典分析的工具，如Riemann-Hilbert方法、渐近分析方法，特殊函数(包括正交多项式)理论等来研究随机矩阵理论中出现的一些渐进问题及其相关课题。具体内容包括在研究高维随机矩阵乘积的奇异特征值分布中出现的一大类多重正交多项式的渐进行为以及相关核(correlation kernel)函数在各种尺度下的局部极限；探讨由某些非经典可积核函数定义的Fredholm行列式所满足的微分方程及其渐进行为。其中对Fredholm行列式的研究，源于其表征了某些随机矩阵模型中特征值的间隙概率(gap probability)。

随机矩阵，即取矩阵值的随机变量，在物理学中被广泛用于模拟各种具有交互作用的复杂系统，并且与纯数学以及无线通信等多个工程领域有着深刻的联系，因而具有重要的研究意义。本项目综合利用复分析和经典分析的各种工具，如Riemann-Hilbert方法、渐近分析方法、特殊函数理论等来研究随机矩阵理论中出现的一些渐进问题及其相关课题。项目执行期间，研究工作进展顺利，在包括SIAM Journal of Mathematical Analysis, Constructive Approximation, Annales de l’Institut Henri Poincaré Probabilités et Statistiques, Physica D: Nonlinear Phenomena等在内的国际权威期刊共发表(含接收)SCIE论文7篇，基本完成预定目标。所取得的重要研究成果包括：严格证明了Ginibre随机矩阵乘积奇异特征值在矩阵维数趋于无穷时依然遵循局部普适性原理。特别地，在处理该问题中所发展出的方法和观点，对证明一大类随机矩阵乘积中的普适性原理都具有借鉴意义。研究了一类核函数由第三类Painlevé方程及其高阶层级的Riemann-Hilbert问题所表示的Fredholm行列式的渐进性态以及积分表达式。该Fredholm行列式描述了一类势函数在零点附近具有极点奇性的酉系综在硬边附近的间隙概率。该项工作推广了Tracy-Widom的经典结果。其他研究成果还包括探讨了一类与乘积型随机矩阵模型紧密相关的模型-Muttalib-Borodin系综与可积系统之间的联系；证明了关于第二类Painlevé方程一类特解极点分布的一个猜想等。