有限域和有限环上满足对偶特性的优化线性码的构造及其应用

The development of error-correcting coding theory provides a theoretical basis for realizing fast and complete modern communication and it is also a research spotlight to solve problems in quantum communication and cryptography by using the theory of error-correcting codes. For example, dual-containing codes over finite fields are used to construct additive pure quantum codes, LCD codes have been applied to resist the side channel attack algorithm in cryptanalysis, and the codes over integer residue class rings are used to construct k-uniform n-qudit quantum state of level N.The project is organized as follows. (1) To study the construction of optimal Hermitian self-dual codes, self-orthogonal codes and dual-containing codes over finite fields by developing the Hermite dual code theory for left dihedral codes and left quaternion codes over finite fields. Then new optimal additive pure quantum codes can be obtained. (2) To investigate the construction of optimal Euclidean self-dual codes, self-orthogonal codes and LCD codes by developing the theory for certain constacyclic codes and quasi-twisted codes over integer residue class rings and their Galois extended rings. Then new optimal Euclidean self-dual codes, self-orthogonal codes and LCD codes over finite fields will be given. Using matrix theory and skew polynomial theory over finite commutative rings and the new development of polynomial factorization theory over finite fields, we expect to improve the theory and methods for the construction of linear codes provided with certain additional properties for their dual-codes. New optimal codes and relevant results obtained have important theory and application value.

纠错编码理论的发展为实现快捷、完整的现代通信提供理论基础，利用分组纠错码理论解决量子通信和密码学中的问题是当前研究热点之一。例如，利用有限域上的对偶包含码设计加性纯量子纠错码，把LCD码应用于密码分析的抵御侧信道攻击算法，利用整数剩余类环上的纠错码构造水平为N的k-一致n位量子态。本课题研究下列内容：（1）发展有限域上左二面体码和左广义四元群码的厄米特对偶理论，用于构造优化的厄米特自对偶码、自正交码和对偶包含码，进而获得新的优化量子纠错码。（2）研究整数剩余类环及其伽罗瓦扩环上的特定常循环码类和准扭转码类，用于构造有限环上优化的欧几里得自对偶码、自正交码和LCD码，在此基础上，得到有限域上优化的欧几里得自对偶码、自正交码和LCD码。运用有限交换环上的矩阵理论、斜多项式理论和有限域上多项式分解理论的新进展，实现研究内容在理论和方法上的创新，获得新的优化码类及相关结果具有重要的理论和应用价值。

1、项目背景.本项目研究了有限域和有限环上满足对偶特性的优化线性码的构造及其应用，通过研究有限域和有限环上的各类常循环码，可获得更多优化的经典纠错码类，并可利用其中满足对偶特性和参数条件的代数码构造新的优化码类。.2、主要研究内容.（1）多项式剩余类环F_(p^m ) [u]/⟨u^k ⟩上Type 2常循环码的结构表示、对偶码性质和参数分析，Type 1常循环码的矩阵乘积结构和Gray像，Type 0常循环码的中自对偶码的结构表示、参数性质、构造方法和算法。.（2）整数剩余类环Z_(p^2 )及其扩环上重根常循环码的结构表示、参数性质、对偶性质、以及其中自对偶码的构造方法和算法。.3、重要结果及其科学意义.项目发表SCI检索论文18篇，其中包含2篇ESI高被引论文。19年FFA、DM和20年IEEE Access上的3篇论文给出环F_(p^m)[u]/<u^k>上三类Type 2常循环码的结构表示、对偶码和参数性质。19年DCC和20年AAECC上的2篇论文，给出环Z_4上两类自对偶循环码的有效编码子、构造方法和算法。19年DM和20年FFA和DM上的3篇论文，给出两类自对偶循环码的构造方法和算法。20年IEEE IT上的1篇论文，分别给出一类自对偶的[8m,4m]-二元左二面体码的结构表示和构造方法。20年DM上的论文给出有限域上重根常循环码的矩阵乘积结构。20年CCDS和21年AIMC上的2篇论文，分别建立环了Z_4 [v]/<v^2+2v>上的单根循环码和Z_4[u]/<u^2>上负循环码的结构表示、参数性质和自对偶性理论。21年发表在FFA、DM上和AAECC在线发表的3篇论文利用组合恒等式理论获得特定矩阵张量积的列空间的代数结构和性质。以此为基础，给出环F_{2^m}+uF_{2^m}上码长为2^s的所有不同欧几里得自对偶循环码的公式表达方法；获得Galois环上码长为素数幂的所有不同欧几里得自对偶重根循环码的有效构造方法和表达式。.研究成果为探讨这些码类更加深刻的参数性质、构造满足对偶特性的码类奠定了基础，论文中的思想和方法可应用于更多代数码类的研究工作。