单调流和余维 1 Aubry-Mather 理论

The classical Aubry-Mather theory and its generalizations, including to partial differential equations, rely on the following four conditions: translation invariance, comparison principles, periodicity, and a variational structure. In this project, we drop for the codimension 1 case the periodicity assumption. Now the variational structure is affected since the minimum of the energy functional is infinity and there are no minimal energy configurations any more. One simple example is a non-exact area-preserving monotone twist map on the cylinder, corresponding to the Frenkel-Kontorova (FK) model driven by an external force. We introduce a parameter F to characterize the non-periodicity. In fact, F indicates the external force in the FK model, or the flux of the area-preserving monotone twist map. We come back to the usual case studied in the literature by setting F=0. The main topic of this project is to apply the theory of monotone dynamical systems, together with the variational methods, to study the existence and geometrical properties of Birkhoff solutions for a given rotation vector. Moreover, we investigate the criterion of the existence of invariant curves around the cylinder or foliations of Birkhoff solutions via the critical value of F such that under which the system has Birkhoff solutions with a given rotation vector.

经典的Aubry-Mather 理论及各种推广（包括向偏微分方程的推广）都以如下四条为基本前提：移位不变性，比较原理，周期性，还有变分结构。本项目中，我们在余维1的情形下丢弃周期性条件，这时变分结构也会受到影响，因为此时相应的能量泛函的最小值是无穷，从而没有最小能量构型（或最小解）。这种情形最简单的例子是柱面上非正合的保面积单调扭转映射，对应的物理模型是受外力驱动的Frenkel-Kontorova（FK） 模型。我们引进一个参数F 来表征这种非周期性。F表示FK模型受到的外力，或保面积扭转映射的通量。当F=0 时，就回到通常文献中讨论的周期情形。 本项目的主题是利用单调系统的性质，辅以变分法，研究当F 不为零时，给定旋转向量的Birkhoff 解的存在性及其几何性质。并利用对应给定旋转向量的F的临界值来研究当F=0 时不变闭曲线（或叶状结构）的存在性判据。

通过本项目的资助我们研究了单调回复关系的余维 1 Aubry-Mather 理论，证明了一系列针对保面积单调扭转映射的Aubry-Mather理论关于单调回复关系也是成立的，最终证明了Aubry断言：保面积单调扭转映射不变圆的存在性等价于相应的脱钉力为零，并进一步证明这一断言对单调回复关系也成立。. 本项目的主要成果如下：应用单调流的方法，给出了单调回复关系有无穷多Denjoy 极小集的充分必要条件；给出单调回复关系正拓扑熵的一个充分条件：如果存在一个旋转数区间，使得以该区间内的每一个数为旋转数的Birkhoff minimizers 不形成叶状结构，则由单调回复关系导出的高维柱面上的映射有正拓扑熵；对于高维FK模型，每个 Birkhoff minimizer 都有一个旋转向量，但是此旋转向量已经不足以反映更深刻的本质，通过引进第二类不变量来对具有相同旋转向量的Birkhoff minimizers 进行分类；经典的Aubry-Mather 理论是建立在恰当(exact)的单调扭转映射系统上的，我们利用单调流的方法研究了非恰当的单调扭转映射的Birkhoff 周期轨和Denjoy 极小集的存在性，得到了与恰当情形平行的结论。. 通过这些阶段性成果， 最终我们得到了本项目的预期成果，即证明Aubry关于保面积单调扭转映射的断言：不变圆的存在性等价于相应的脱钉力为零。并且此脱钉力在无理旋转数处是连续的，在满足丢番图条件的无理数处是Holder连续的。这些结论对单调回复关系也是正确的。