非凸Hamilton系统的Aubry-Mather理论

In this program we will study the dynamics for non-convex Hamiltonians by the theory of symplectic homogenization from the field of symplectic topology, and build a foundation for Aubry-Mather theory of non-convex Hamiltonian dynamical systems. More precisely, we will construct a suitable variational principle, then prove the existence of various kinds of invariant sets analogous to Aubry-Mather sets, and construct connecting orbits visiting these invariant sets; we will study the relationships among viscosity solutions, minmax sloutions of the associated Hamilton-Jacobi equations and the dynamics of the non-convex Hamiltonians.

本项目将利用辛拓扑领域中的辛齐次化理论来研究非凸Hamilton的动力学, 为建立非凸Hamilton系统的Aubry-Mather理论奠定初步的基础. 具体来讲, 我们将在非凸Hamilton系统中构建合适的变分原理, 证明Aubry-Mather集类型的不变集的存在性, 并构造这些不变集之间的连接轨道; 我们将研究非凸Hamilton系统的Hamilton-Jacobi方程的粘性解, 极小极大解和Hamilton系统的动力学之间的联系.

Aubry－Mather理论在正定Lagrange系统（等价地，非凸Hamilton系统）的研究中显示了巨大的威力。广义相对论的物理背景和Lorentz几何的几何背景告诉我们，凸Hamilton系统具有一定的局限性。近来，有些数学家开始把Aubry－Mather理论往非凸的Hamilton系统中推广。沿此方向，主要有两类工具：拓扑方法和几何方法。我们本项目一方面对正定系统中的Aubry－Mather理论进行进行了深入挖掘，另一方面结合拓扑方法和几何方法对非凸系统展开了研究。具体来讲，我们取得了一些基本的结果：.1.发现了可换 Tonelli Hamilton系统的Aubry－Mather理论。.2.对非紧完备Rieman流形上的eikonal方程的整体粘性解的结构进行了刻画。.3.证明了宇宙函数的负值是粘性解，并具有weak KAM性质。.4.在二维时空上，建立了完整的weak KAM理论。.5.研究了高维闭的distribution current的结构。.这些结果对我们加深理解正定Lagrange系统的Aubry－Mather理论及其在几何测度论中的应用起着重要作用，也对非凸Hamilton系统的Aubry－Mather理论的初步建立起着基础性作用。