非局部紧空间上Feller半群遍历性的一些问题

The ergodicity of general Feller processes on nonlocally compact spaces is still developed, and people have made a lot of progresses both on the theory and its applications. In particular, most recently, the applicant with his collaborator presented a new notion called "eventual continuity", and then got some essential improvements on this topic. Inspired by these new results, and recent world famous developments on the unique ergodicity of two dimensional Navier-Stokes equations with degenerate stochastic forcing and Blackwell's unique ergodicity problem of hidden Markov models, we think that it is a challenging target to study further the ergodicity of nonlinear hypoelliptic systems and stochastic filtering of hidden Markov chains..In our opinion, we are interested in the following three subjects: 1. Semilinear stochastic partial differential equations with degenerate additive noises; 2. Blackwell's unique ergodicity problem of hidden Markov chains on nonlocally compact spaces; 3. To find some instances of stochastic partial differential equations satisfying the eventual continuity.

关于非局部紧状态空间上一般Feller半群的遍历性理论与应用，近年来人们已经取得显著成果，特别是申请人与合作者的最新工作提出最终连续性的概念，并在实质上推进了该方向的研究。受此鼓舞，结合国际上在带退化型可加噪音的二维随机Navier-Stokes方程的唯一遍历性、隐马氏链的Blackwell唯一遍历性等课题上的若干重要进展，我们认为继续深入研究非线性亚椭圆系统、隐马氏链滤波的遍历性问题，成为当前具有一定挑战性的课题。.本项目计划将关注以下三方面的问题：1. 带退化型可加噪音的半线性随机偏微分方程；2. 非局部紧空间上隐马氏链的Blackwell问题；3. 最终连续性在随机偏微分方程中的实例研究。

我们的研究课题是刻划无穷维空间或更一般的Polish度量空间上Feller半群的遍历行为，其实例包含带退化可加噪音的随机偏微分方程。该课题背景一方面参考Hairer-Mattingly [Ann. Math, 06]关于二维随机Navier-Stokes方程唯一遍历性的突破性工作，另一方面来自Lasota-Szarek关于等度连续半群不变测度存在性的一系列结果，并且我们注意到他们提出的关于半群的渐近强Feller性或等度连续性都有不成立的情形。我们提出了最终连续性的概念，给出一般Feller半群遍历性的近乎充要准则，以及渐近稳定性的充要准则。与已有结果相比较，我们的工作是足够一般的和基本的，并且对前人的研究对象同样适用。.. 我们进一步研究Feller半群趋于遍历测度(平衡态)的速率问题。这包括以下结果：(1)对Wiener空间上的一类薛定谔算子的谱隙及其基态函数给出了细致的比较定理;(2) 对满足Lyapunov条件的对称扩散过程的距离函数关于不变测度是否具有高斯可积性给出简单证明，从而回答吴黎明教授及其合作者在[PTRF, 10]中提出的一个问题；(3)对完备连通黎曼流形上的对称扩散算子，若Bakry-Emery曲率存在下界(允许为负值)，我们证明对数Sobolev不等式与Lyapunov条件等价。