退化型非线性椭圆方程的分析与应用

Our project mainly deals with the existence and regularity of solutions to a class of nonliner partial differential equations with degeneracy or singularities, and moreover we will discuss the properties of formal solutions for such equations. Those PDEs came from geometry and physics. We will focus on the following two aspects: 1. the existence and regularity of solutions for a class of nonlinear partial differential equations on manifolds with singularities; 2. the formal solutions and summability of solution for a class of nonlinear singular PDE on complex domain. The common character of those problems is the degeneracy or singularity from those nonlinear partial differential equations. The microlocal analysis and modern harmonic analysis are two effective methods to deal with them. Based on preliminary work and existing result, we will investigate continuously on above-mentioned problems and obtain more deep result.

本项目主要研究退化型或者带奇异性的非线性偏微分方程的解的存在性、正则性以及形式解的性质等问题，这类问题来源于应用学科领域，有着深厚的几何和物理背景。我们的研究主要侧重以下两个方面：一、奇异流形上的退化型非线性偏微分方程的解的存在性和正则性问题；二、复域中的非线性奇异方程的形式解和可和性研究。这两类问题的共性是由退化型或奇异性算子构成的非线性偏微分方程，而微局部分析和变分法则是解决上述两类问题的有效方法。本项目申请人及其参加者在以上两个方面有较多的工作积累，得到了一些很好的结果，本项目的申请既是前期工作的延续，也是更进一步和更深层次的研究，因此本项目的立项是有坚实的基础的。

本项目主要研究退化型或者带奇异性的非线性偏微分方程的解的存在性、正则性以及形式解的性质等问题，这类问题来源于应用学科领域，有着深厚的几何和物理背景。我们的研究主要侧重以下两个方面：一、奇异流形上的退化型非线性偏微分方程的解的存在性和正则性问题；二、复域中的非线性奇异方程的形式解和可和性研究。.在本项目的资助下，我们正式发表了SCI论文10篇，其他论文1篇，另外已完成论文3篇，已投稿2篇。我们主要开展了以下几方面的工作：1、锥奇异流形上的退化型非线性偏微分方程的解的存在性研究：我们利用现代变分方法得到了带临界指标的锥奇异流形上不同非线性项下的偏微分方程或方程组的多解存在性结果；2、带角奇异性流形上退化型非线性方程的研究：我们定义了带角奇异性流形上的加权Sobolev空间，建立了相应的Sobolev不等式、Poincare不等式和Hardy不等式等，证明了Sobolev嵌入定理，并利用现代变分方法得到了相对应的半线性退化型偏微分方程正解以及多解存在性结果；3、对Kirchhoff型非线性偏微分方程、拟线性方程（组）以及分数阶Laplace方程的非线性问题的研究：我们分别得到了不同假设条件下解的存在性结果；4、复域中的非线性奇异方程的形式解和可和性研究：我们得到了方程形式解的可和性和一类n个复变量的超几何级数的和函数的积分表示。