一般Gauss过程驱动的控制系统的随机最优控制理论与应用

Since the modern optimal control theory to deterministic systems was founded, many researcher try to study the optimal control theory for stochastic optimal control systems. In reality, general Gauss process including fractional Brownian motion play an important role in the fields of hydrology, economic and financial, physical, engineering and biology, so it is very necessary to do further research on the stochastic optimal control system driven by the general Gauss process. By using the dynamic programming principle to derive the HJB equation for the value function is no longer applicable because that the state process for this kind of control system usually has no Markovian semigroup property. So how to obtain the stochastic maximum principle by calculus of variations has become one of the main methods for describing the optimal control of the above mentioned systems. In this project, combing with the theories of Malliavin calculus and backward stochastic differential equations, we investigate the necessary conditions that the optimal control must satisfy for controlled system driven by general Gauss processes such as fractional Brownian motion; The applications of this type of control systems is studied; We also study the existence and uniqueness of the solutions for corresponding adjoint equations and generalized stochastic Hamiltonian systems. To solve these problems in this project will help us deepen the understanding of the phenomenon of uncertainty in real world.

自确定系统的现代最优控制理论建立伊始，人们就尝试研究随机系统的最优控制理论。而在现实中，包括分数维布朗运动等更一般Gauss过程在水文学、经济金融、物理工程和生物数学等方面的研究中具有重要作用，因此研究由一般Gauss过程驱动的随机最优控制系统就显得很有必要。对于这类控制系统因为状态过程通常不再有Markov半群性质，这使得动态规划方法往往不再适用。因此从变分法的角度研究相应的随机最大值原理就成了刻画此类问题的最优控制的主要方法之一。我们在本项目中拟结合Malliavin分析理论和倒向随机微分方程理论研究一般Gauss过程驱动的随机最优控制系统的最优控制所满足的必要条件及在金融与生物数学等领域中的应用；讨论相应伴随方程及广义随机哈密顿系统解的存在惟一性等基本性质。这些问题研究不仅在随机最优控制理论研究方面有一定意义，还能加深我们对各个领域出现的随机系统的了解，增强对不确定现象的认识。

本项目主要研究一般Gauss噪声驱动的随机控制系统的随机最优控制理论及其应用。在项目经费的强有力资助下，项目组在基础理论研究、人才培养和学术交流等方面取得了一些成果。项目组在多类随机最优控制系统的随机最大值原理、随机偏微分方程解的定性理论、随机周期解的刻画、偏微分方程解的局部可控性、随机波动率和不确定波动率下的期权定价求解、生物种群模型和随机传染病模型解的全局存在性判定以及随机图理论和社会统计应用等方面取得了系列成果。对于由分数布朗运动驱动的控制系统，我们的研究工作首次通过引入一类由标准布朗运动和分数布朗运动共同驱动的倒向随机微分方程给出了该类随机最优控制满足的必要条件；我们给出了随机波动率模型下计时期权定价公式的闭形式解，对于金融风险度量和管理有一定的理论指导意义；我们对于抛物Anderson模型解的刻画为进一步研究KPZ方程解的正则性提供了有效途径；我们关于分布意义下的随机周期解的研究成果，为进一步研究随机周期解等稳定性理论提供重要的技术研究手段。. 在项目执行期间，项目组共发表科研论文17篇，接受待发表论文1篇，其中SCI索引论文11篇，这些论文有的发表在相关研究领域的著名学术期刊如 《Journal of Differential Equations》、《Journal of Mathematical Physics》、《Applied Mathematics and Optimization》、《Journal of Mathematical Analysis and Applications》、《IEEE Access》等。培养博士毕业生5名，硕士毕业生28名，目前有6名博士在读，8名硕士在读。项目组参与组织国内学术会议5次，参加国际国内会议20余人次，邀请国际国内专家学者10余人次来本地访问进行学术交流，项目组负责人作为学术带头人成功组织申报特设本科专业“金融数学”专业，所工作单位于2015年秋季开始该专业招生。项目组负责人入选吉林省第四批拔尖创新人才第三层次人选（2013年），获得吉林省青年科技奖（2014年）和长春市第六批有突出贡献专家（2015年）等荣誉称号。