随机和不确定波动率下的衍生品定价

In the development of national economy, especially in the areas of financial products innovation and financial risk management, there are still numerous financial problems need to be solved urgently. In order to solve these modern financial problems, quantitative analysis is indispensable, which requires introduction and innovation of the relevant mathematical theories and methods. Under the background of these problems, this project is proposed to introduce and develop the theories and methods of stochastic differential equations, stochastic optimal control, partial differential equations and numerical analysis to research the pricing principle of financial derivatives with the stochastic and uncertain volatilities, especially some exotic options pricing. In this project, we try to explore the non-standard option pricing equations and solutions under the uncertainty volatility, the optimal portfolio problems when volatility has the time delay, the pricing and the corresponding closed form solutions of the target volatility options and swing options under the multi-factor Gauss stochastic volatility model. If these problems can be solved, not only the innovation of financial derivatives will be promoted to strengthen people's perception of financial derivatives and risk management, but also some new mathematical methods will be developed and introduced, and deepening people's understanding of the essential of random and uncertainty.

在国民经济发展中，尤其是在金融产品创新、金融风险管理等领域，有很多金融问题亟待解决。而解决这些现代的金融问题，离不开定量分析，这就需要引入、创新相关的数学理论与方法。本项目就是在这一问题背景下，拟利用和发展随机微分方程、随机最优控制、偏微分方程和数值分析等数学理论和方法，研究随机和不确定波动率下的金融衍生品尤其是若干奇异期权的定价。我们尝试探讨不确定波动率下非标准期权的定价方程及求解，波动率具有时滞情形下的最优投资问题，多因子Gauss随机波动率模型下的目标波动率期权定价以及摆动期权的定价求解问题。这些问题若能得到解决，不仅会促进金融衍生产品创新，加强人们对金融衍生产品的认知和风险管理，也会发展和引入新的数学理论与方法，并加深人们对随机和不确定性这一客观现象的认知。

本项目对一些金融衍生产品定价与风险管理中面临的数学问题进行探讨，利用随机最优控制理论、随机微分方程数值计算方法、深度学习理论、偏微分方程解的概率阐述等数学理论和方法推导若干金融衍生品的定价方程，进行解析求解或数值求解。主要取得了以下研究结果：. （1）对于不确定波动率下的亚式期权定价问题，通过将全非线性的Black-Scholes-Barenblatt方程的解作渐近展开，给出了最坏情形下期权价格的逼近格式和处理程序；对于一类波动率障碍期权，利用风险中性定价理论，给出了相应的闭型定价公式；对于分数随机波动率模型，利用Malliavin计算、风险中性定价理论、偏微分方程的基本解方法，得到了相应的欧式期权价格表达式。. （2）对于最优停止和最优多停止问题提出了一种新的数值算法，并用其计算美式期权与摆动期权价格，得到了算法的收敛速度，证明了算法可以克服维数灾难。. （3）用随机分析理论方法得到了一类Dirichlet问题广义粘性解存在的条件；给出了随机微分方程在随机意义下周期解存在性的精细刻画；考虑一类由对数型Gauss场驱动的随机抛物Anderson方程，给出了其Feynman-Kac解的高阶矩渐进性估计。. 本项目获得的研究结果，不仅仅在经济数学与金融数学理论研究方面有一定的理论意义，促进了相应数学理论和方法的发展，还为实际的金融产品创新、金融风险管理提供了一定的技术支持。. 受本项目资助，项目组在SIAM J. Control Optim.、Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul.、Stochastics等学术杂志上发表相关学术论文11篇，在项目执行期间指导5名研究生获得博士学位，25名研究生获得硕士学位，目前指导在读博士研究生7名，在读硕士研究生18名。项目组1人获得了吉林省第十七批享受政府特殊津贴专家荣誉称号。项目组主要参加者多次在国际、国内学术会议上作学术报告，项目负责人作为会议组织者之一连续组织了2届中国工业与应用数学学会年会中的“随机控制理论与应用”分组会议，组织举办了“概率论与数理统计前沿问题学术研讨会”，近几年邀请了数十名国际、国内同行专家作学术报告和系列讲座。