量子导引的数学基础及动力学性质研究

Quantum correlation is one of the most remarkable characteristics of quantum mechanics. Quantum steering, as a kind of quantum correlation, has attracted much attention from many scholars in recent years. Based on operator theory and operator algebra, this project studies the mathematical foundation and dynamics of quantum steering. The main research contents and objectives are as follows: the inherent characteristics of unsteerable states are studied and some characterizations are given; the quantitative characteristics of steerable states are explored and some measure functions of steering are put forward, which have a clear physical meaning and are easy to calculate; various properties of the set consisting of all unsteerable states are discussed and structure of operators that can detect some steerable states is revealed; dynamics of quantum steering is discussed and influence of quantum channels on quantum steering is illuminated; robustness of quantum steering is studied and the anti-jamming capability of quantum steering is reflected; based on measurements, description of quantum coherence is studied and relations between steering and coherence are established. The explicit features and innovations of this project lie in applying mathematical theory to quantum steering; not only emphasizing logical rigor of mathematical proof, but also paying attention to physical background of research objects; comprehensively utilizing of mathematical thought of analysis, algebra, geometry and topology to reveal the overall nature of research objects. The expected results can provide theoretical foundation for quantum communication, quantum control and quantum information processing.

量子关联是量子力学最显著的特性之一。量子导引作为一种特殊的量子关联，近年来受到了众多学者的广泛关注。本项目应用算子论与算子代数方法，研究量子导引的数学基础及动力学性质。主要研究内容与目标为：研究不可导引量子态的内在特征，建立刻画定理；探讨可导引量子态的数量特征，提出物理意义明确且易于计算的导引度量函数；讨论不可导引量子态之集的各种性质，揭示可以检测可导引量子态的算子的性质与结构；研究量子导引的动力学性质，阐明量子信道对量子态可导引性的影响；研究导引鲁棒性，反映量子态可导引性的抗干扰能力；研究量子相干性的测量描述，建立量子态的可导引性与相干性之间的内在关系。创新之处在于：应用数学理论，关注量子导引这一新课题；既强调数学论证的逻辑严密性，又重视研究对象的物理背景；综合利用分析、代数、几何与拓扑的数学思想，全面揭示研究对象的整体性质。预期成果可为量子通讯、量子调控及量子信息处理奠定理论基础。

随着量子信息技术的发展，量子关联、量子纠缠、量子导引以及量子相干性作为量子信息与量子计算中的重要资源，被应用于量子隐形传态、量子密码和量子通讯等方面，引起了数学、物理学以及信息学领域学者的广泛关注。本项目研究内容包括量子导引的数学刻画和动力学性质、量子相干的度量和转化、量子纠缠的判别方法、量子纠错与量子隐藏的关系、神经网络量子态的表示以及非自伴量子系统中的数学问题。具体成果为：(1) 给出了量子态的Bell非局域性和可导引的数学定义和等价刻画，提出用于检测极大纠缠态的EPR可导引性的方法。引入了广义导引鲁棒性作为一种量子导引性度量工具。得到了可导引相干性与量子关联的关系。(2) 证明了相干态能够通过非相干量子信道转化为量子关联态，并给出了构造方法。证明了利用非相干量子信道无法实现量子相干性的广播和弱广播，但可以实现相干性的广义广播。证明了可蒸馏的相干性和渐近非相干操作下的相干耗散等于相对熵定义的相干性度量。 (3) 引入多体量子态纠缠鲁棒性，能够量化多体量子态的纠缠性抗线性噪声的能力。建立了多体态的可分性准则。(4) 证明了量子信道的任何纠错码空间都必须包含在该信道的一个极大纠错码空间中。给出包含最多可纠正信息的最大的纠错码空间。证明了任何算子都不可能掩盖所有的混合态。证明了线性算子是系统所有纯态的量子多体掩盖当且仅当它的值域是任何一单擦除量子信道的量子纠错码。(5) 得到利用正规化的神经网络态可以表示成图态的充分必要条件。利用相对最小的误差来寻找给定哈密尔顿量的基态的神经网络量子态逼近，探索在最优误差情况下哈密尔顿量的和、张量积以及局部酉算子的影响。(6) 估计了同一初始纯态由两个哈密顿量分别演化后的误差，以及同一初始混合态由两个哈密顿量分别演化后的误差。建立了伪自伴量子系统的绝热演化定理及与绝热逼近定理。研究了具有共轭线性对称性和完整共轭线性对称性的线性算子的矩阵表示，给出了共轭线性对称性和完整共轭线性对称性的等价刻画。