多体量子关联的动力学与时间演化

In this project, dynamics and time evolution of multipartite quantum correlations are studied, which belong to mathematical fundamental and subject frontier of quantum information. The basic research of quantum information is one of the core scientific problems in the 21th century. Quantum correlations are important resourses in quantum computation, quantum communication and quantum code. By using operator matrix, operator spectral analysis, completely positive maps and tensor products, mathematical description of multipartite quantum correlations is given, and some equivalent characterations of each kind of correlated states are obtained as well as measure functions. The robustness of quantum correlations is defined and its some properties and applications are discussed. Based on these results, it is revealed that dynamics of multipartite quantum correlations under general quantum channels and time evolution governed by Schrödinger equation. The explicit features and innovations of this project lie in first presenting new concepts consisting partial quantum correlations, partial classical correlations and robustness of quantum correlations, further adding new contents to quantum information and exploring new problems that dynamics and time evolution of multipartite quantum correlations by using new thought of analysis, algebra and geometry. The research results of this project will not only establish a theoretical foundation for physical preparation, storage, and regulation of quantum correlated states and quantum communication and quantum code, but also provide some new research subjects for operator theory and operator algebra.

本项目研究多体量子关联的动力学与时间演化问题，它属于量子信息学的数学基础与学科前沿问题。量子信息学基础研究是我国基础科学21世纪核心科学问题之一。量子关联是量子计算、量子通信与量子编码的重要资源。本项目应用算子矩阵、算子谱分析、完全正映射与张量积等理论与方法，给出多体量子关联的数学描述，建立各类关联态的等价刻画和关联度量函数，并提出关联鲁棒性的定义，研究其作用与基本性质；在此基础上，揭示多体量子关联在一般量子信道下的动力学性质以及由薛定谔方程决定的时间演化规律。创新之处有：首次提出部分量子关联、部分经典关联及关联鲁棒性等新概念，进而为量子信息的研究注入新内容，综合运用分析、代数与几何的新思想，全面探究多体量子关联的动力学性质以及时间演化规律等新问题。预期研究成果不仅为量子关联态的制备、存储与调控，以及量子通信和量子编码等奠定理论基础，而且能为算子论与算子代数本身开辟一些新的研究课题。

本项目历时3年，共发表科研论文15篇，其中13篇发表在SCI期刊，2篇发表在国内核心期刊。研究内容包括量子关联、量子纠错、量子互文性、量子绝热演化、量子熵以及框架理论等。主要研究成果分为四个方面：1. 关于量子关联的研究：首次对多体量子系统中的量子关联性进行数学描述，提出了部分经典关联与部分量子关联的概念，给出了部分经典关联态的刻画，以量子互信息为工具，提出了易于计算解析式的关联度量函数；分别给出了任意有限维系统中保持经典关联、双方保持经典关联及破坏量子关联的局部量子信道的结构，建立了量子态经过局部量子信道后成为经典关联态的充要条件；给出了一族混合态可以由同一个量子克隆机同时克隆的充分必要条件；引入量子关联鲁棒性的定义，并探究了其相关性质和几何解释，给出了任意两体态的量子关联鲁棒性的计算方法；构造了作用在混合态上的广义对偶量子计算机；引入了关联度量函数。2. 关于纠缠目击、量子互文性的研究：证明了每个非拟极大纠缠态都能够被目击；得到了一个对角量子信道不可纠错当且仅当其压缩矩阵是满秩；证明了先验模型是非互文的当且仅当它的互文鲁棒性是0, 可以用来区分先验模型是否为非互文的；找到了无信号先验模型的互文鲁棒性的一个上界；讨论了广义互文鲁棒性。3. 关于量子绝热逼近的研究：构造了一种广义绝热逼近方法，并估计了这一方法的逼近误差估计；证明了统一量子(r,s)-熵的单调性和统一量子(r,s)-互信息的单调性。 4. 关于框架理论的研究：证明了一个可分Hilbert空间中的所有Bessel列，所有框架，所有Riesz基在所定义的两类乘法和对合下分别构成了有单位元的C*代数，有单位元的乘法半群，自伴乘法群。定义了一个可分Hilbert空间到一族Hilbert空间上的广义Bessel列，广义框架，广义Riesz基。证明了所有广义框架，广义Riesz基之集都是开集，进而证明它们在小扰动下都是稳定的。