量子测量与量子操作理论的数学基础研究

如所周知，量子计算机、量子信息、量子通讯等理论和技术是目前国内外非常活跃的研究领域，尽管人们在这一领域已经取得了重要进展，然而要最终实现有价值的量子技术，不仅在实用化中存在着巨大困难，而且有的困难甚至是原理性的. 从一般原则上讲，这些困难的根源是量子力学的测量问题. 本项目将用泛函分析方法，特别是算子代数和算子空间理论为主要工具来研究量子测量理论和量子操作理论，以及该理论与算子代数的深刻联系，力争在量子态的塌缩过程描述、量子测量的相容性、Connes关于有限逼近von Neumann代数的嵌入问题、量子操作的不动点集刻划、量子可观测量空间的拓扑理论等方面取得实质性进展和成果.

本项目用泛函分析方法, 特别是算子代数和矩阵分析为主要工具研究了量子测量和量子操作及相关理论的几个基本问题, 主要研究内容是: ..回答了经典关联和量子关联方面的一个猜测; 研究了以干涉可见度作为证据的量子纠缠与量子关联问题; 借助于量子测量的思想方法, 研究了由量子操作所诱导的量子系综 Holevo 量的一个普适上界, 做为该结果的重要应用, 部分回答了 Fannes, de Melo 和 Roga 等人的一个猜测; 对于任意给定的冯.诺伊曼测量, 构造了与之相伴随的可恢复测量, 建立了这两个测量所诱导的冯.诺伊曼熵与量子失协之间的密切关系; 提供两个反例说明了甚至对满秩量子态而言, 相对熵的超可加性不等式也不成立, 由此得知量子信道与补量子信道不等式也不成立; 通过 Peierls–Bogoliubov 不等式和 Golden–Thompson 不等式, 获得了与任何测量都无关的量子条件互信息的下界, 这个结果对量子纠缠和马尔科夫量子态的扰动研究有重要应用; 研究了弱测量值的分布问题, 建立了弱测量意义下的不确定性关系; 研究了de Morgan 格和格效应代数的几乎正交性和它们的内蕴拓扑, 得到了这些拓扑的一系列基本性质; 研究了广义效应代数的逐点可和性问题, 给出了这类代数是广义 MV 效应代数的条件, 在逐点可和的广义效应代数中给出了元素的有限反链刻划条件; 研究了广义 Schur-Weyl 对偶理论, 包括有限维酉群的若干等价性条件等, 得到了一个新的 Schur-Weyl 对偶定理; 研究了一类离散 PT-对称族的平方井问题; 研究了具有 PT-对称性的量子态在局部量子操作下的演化行为, 得到了新的有趣结果; 研究了一类无界可观测量代数, 讨论了该代数的序结构, 特别是讨论了海森伯格不确定关系; 研究了有界可观测量代数关于序列乘积的各种内蕴拓扑下的连续性问题, 得到了完整结果; 研究了广义 ESR 模型的时间演化问题等。