有限群的子群格与广幂自同构

Lattices and groups are two basic and important study subjects. Since it is proved that every lattice is isomorphic to a sublattice of the subgroup lattice for some group, it brings lattices and groups closer together. The famous Palfy-Pudlak problem is a further expression of the closed relationship between finite lattices and finite groups, and it is also an interesting open problem in finite group theory and lattice theory. The purpose of this project is to investigate the famous Palfy-Pudlak problem. We first set up the relationship between the centralizers of quasi- fixed-point-free automorphisms and the structure of finite groups by using “the skill of p-automorphisms of finite p-groups” erected by Khukhro and the action of finite p’-groups on finite p-groups. Next we set up the connection between the subgroup lattice of a finite group and its automorphism group by using the ideal of famous mathematicians Bear and Wielandt and the automorphism group (the power autpmorphism group) of the finite group. Finally, we may find some classes of finite groups such that Palfy-Pudlak problem is true on these classes. We believe that our investigation could make a positive role in promoting on the investigation of automorphism groups of finite groups, and it is an important theoretical significance for to study the subgroup lattices and Palfy-Pudlak problem.

格与群是现代数学中两个最基本的研究对象. 自从人们证明了每一个格都同构于某个群的子群格的子格之后，格便与群紧密的联系在一起. 而著名的Palfy–Pudlak 问题则正是有限格与有限群紧密联系的进一步体现， 也是有限群论和格论中人们非常感兴趣的一个公开未解决的问题. 本项目正是以研究著名的Palfy–Pudlak 问题为出发点，应用有限p-群的p-自同构的技巧，以及有限p’-群在有限p-群上的作用, 建立有限群的准无不动点自同构的中心化子与有限群结构之间的深刻关联. 进一步应用Bear和 Wielandt的思想，通过有限群的自同构群和幂自同构群来建立有限群的子群格与其上的自同构群之间的联系，从而给出有限群的几个群类使得其上的Palfy–Pudlak 问题成立. 相信我们的研究对有限群的自同构群的理论有推动作用，同时也为推动子群格的研究以及Palfy–Pudlak问题的解决有重要的理论意义.

由于有限群的自同构群与有限群的子群格的自同构群之间可以通过其有限群的幂自同构群建立关联，所以本项目的研究紧紧围绕“群在群上的作用”和“与幂自同构群有紧密联系的有限群的自同构或自同构群”展开。我们首先从有限p-群出发，一方面研究有限p-群中p-子群的正规化子与其正规闭包的关系；另一方面也研究了一个初等Abel群互素作用在另一个有限可解群上时，所有非单位元的中心化子的结构如何来影响整个群本身的结构，为研究有限群的一些特殊的自同构群奠定了基础。其次我们研究了有限群的一些与内自同构群有紧密关联的自同构或自同构群的性质，我们重点考虑的是Coleman 自同构和类保持自同构，研究了其Sylow2-子群为交换或者为极大类2-群时，有限群的Coleman 自同构群和类保持自同构群的结构性质，为广幂自同构的研究创造了条件，作为一个直接的应用给出了著名的“正规化子问题”成立的判别条件。更一般的我们还研究了所谓的“互素图”和“幂图”的自同构群的结构。作为本项目的重点，我们研究了有限群的弱二极大子群与所有包含它的极大子群之间的关系，不仅给出了这个群类的数量关系，也给出了所有包含这个弱二极大子群的极大子群的群类与这个二极大子群之间的关系，为确定相应的区间格创造了条件。同时在一定程度上也回答了著名群论专家Flavell提出的关于弱二极大子群的一个问题。进一步，利用我们所获得结果，我们找到了一类有限可解群使得对于这类有限可解群 Issacs-Navarro-Wolf 猜想成立，从而也推进了Issacs-Navarro-Wolf 猜想的研究。