子群格与有限p群的若干问题研究

The propose of this project is to invesitigate some problems about the structure of subgroup lattices of groups, the influence of some properties of subgroup lattices on the structure of groups and related problems to finite p-groups. In particular, it is one of the main topic to investigate the interrelation and interaction between the Chermak-Delgado lattice and the structure of finite p-groups. Since finite p-groups play an important role in the study of Chermak-Delgado lattice, it is also one of the main topic to determine the structure of some classes of finite p-groups. In addition, to develop and apply deeply Magma is also bright style. The significance of this project is: (1) a new approach to the study of finite groups is provided by subgroup lattices;(2) the research to subgroup lattices is almost nothing in China. The project is to sharp the research about this aspect;(3) the p-groups provides a good research subject for combination, cohomology, computer science;(4) the extension to Magma benefit the group theorists.

本项目旨在研究群的子群格的结构、子群格的某些性质对群结构的影响问题以及相关的p群问题。特别地，有限p群的Chermak-Delgado格与有限p群结构之间的联系与相互影响的研究是本项目的主要内容之一。 由于有限p群在Chermak-Delgado格研究中的重要地位，确定某些p群的结构也是本项目的主要内容之一。 另外，扩充Magma软件包是本项目的又一项内容。其意义在于：（1）群的子群格为群论研究提供了新的视角；（2）子群格研究目前在我国几近空白，此项目旨在加强该领域的研究；（3）p群为组合、上同调理论以及计算机科学提供了理想的研究对象；（4） Magma软件包的扩充为群论工作者提供了某种便利。

本项目对有限p群的Chermak-Delgado格与有限p群结构之间的联系开展了研究、完成了一些重要p群的同构分类。主要研究成果为：给出了拟反链能作为一个有限群的Chermak-Delgado格的充分必要条件、建立了两个Chermak-Delgado格的扩张定理、给出了非交换子群正规的p群（即亚Hamilton p群）的一个刻画、解决了亚Hamilton p群的分类问题、找到了非正规子群的共轭类数的新的Gap、分类了非正规子群的共轭类数不超过2p的p群、分类了指数为p^3的子群都交换的p群(即A_3群)、非交换子群中心都相同的p群等。解决了著名群论学家Z. Janko和Y. Berkovich在他们合著的ｐ群专著“Groups of Prime Power Order Vol. 1--3”中提出的Problem 87、116(ii)、768、920、1278、1576等。主要研究结果反映在发表的23篇研究论文中。Berkovich和Janko在其p群专著“Groups of Prime Power Order Vol.4”中专辟一节内容(Appendix 53)介绍和评价我们的研究成果(This appendix is a survey of some papers of the p-group theorists from Shanxi Normal University)。项目获得的成果可被用于对有限群的Chermak-Delgado格以及有限p群结构的深入研究中。项目组成员出版了关于有限p群结构的专著一部（上下册）、多次在学术会议上做邀请报告。本项目主办国内群论及其相关课题研讨会一次。培养了58名硕士研究生，已毕业48名。