有限群的临界群与导出自同构

Crucial subgroups play an important role in the finite group theory.It is very important to investigate the representation of crucial subgroups in formations and the relationship between this kind of crucial subgroups and the structure of finite groups. In this project we hope to work up the form of crucial subgroups in the formations （especial saturated formations）by using the ideal of Bear and Wielandt, the nature of norm and Wielandt subgroups and the methods of induced automorphisms. We also investigate the relationship between this kind of crucial subgroups and F-supercenters (projectors and covers, respectively) in formations. We believe that there is a positive role in promoting for formation theory and the study in crucial subgroups if there is a good progress of this project. It is also useful for answering Bear and Wielandt problems.

传统意义上的临界群在有限群论的研究中扮演着非常重要的角色，因而深入研究临界群在群系体系中的表现形式以及这种临界群的表现如何通过群系来影响有限群的结构自然成为重要的研究课题. 本课题正是希望从著名数学家Bear和 Wielandt的思想出发，应用他们所定义的"norm"和"Wielandt子群"在有限群论研究中所折射出的本质特征，通过诱导自同构等技术手段建立群系理论，特别是饱和群系理论的基本体系下的具有广泛意义的 "临界性质群".并进一步探索这种"临界性质群"与群系意义下的超中心、投射子和覆盖子群之间的关系，以及如何通过群系（特别是饱和群系）来影响有限群的结构.相信我们的研究工作对于完善群系理论（特别是饱和群系理论）以及临界群的研究有积极的推动作用，也为"norm"和"Wielandt子群"的研究提供更广阔的空间，从而推进Bear 和 Wielandt问题的解决.

为建立有限群的饱和群系下的临界群的理论，我们将研究的重点放在了有限群的F-剩余在该有限群的某些特殊正规子群上所诱导的自同构群的性质上 (这里F 是一个饱和群系), 这就引导我们来深入研究有限群的p-主因子可以成为F-中心主因子与该有限群的某些诱导自同构之间的内在联系. 为此我们较系统地研究了具有某种自同构作用的有限p-群的结构；其正规子群的共轭类长具有连续整数的有限群的结构， 以及非正规循环子群的正规化子为极大子群的有限群的结构. 并从群系的角度给出了有限群类为“Z_p-闭性质”的一些基本条件，从而将著名群论专家 Bear所研究的norm 推广到更加广泛意义下的 norm子群，并将这种广义的 norm子群与有限群的群系剩余的中心化子建立了紧密的联系， 使得这个广义的norm子群所诱导的自同构在一定程度上可以通过该有限群的某个中心化子来度量. 这些研究不仅统一并推广了原来看上去毫无关系的一些结果，而且也为我们研究所谓的“F-剩余与F-极大子群之间的联系”创造了条件，也为建立F-剩余与F-超中心以及F-剩余与F-投射子之间的关系奠定了基础. 实际上，我们给出了“F-剩余与F-极大子群之间的联系”圆满的答案，同时也推广了关于p-幂零群的著名的Frobenius定理和Thompson定理. 更重要的是为从本质上建立饱和群系的p-局部系的“临界性质的群”提供了方便，也为 “norm”和“Wielandt子群”的研究提供更广阔的空间. 相信我们的研究工作对于完善群系理论（特别是饱和群系理论）以及临界群的研究有积极的推动作用.