准循环LDPC码校验矩阵的秩和冗余行分析及码的性能优化

Recent development in QC-LDPC codes is the introduction of a matrix-theoretic approach for studying these codes based on matrix transformation via Fourier transforms over finite fields. Ranks of certain classes of algebraic QC-LDPC codes are derived, but some constraints may have to be applied. Starting from conjugate matrices, this research will be concerned with general analysis on the rank of an array of circulants whose null space defines a QC-LDPC code, which is based on the Fourier transform and modern algebra theory. The benefits of a general analysis are two aspects. First, the rank of the parity-check matrix is one of the most essential factors in code design; Second, the number of rows minus rank is the number of redundant (dependent) rows. It is well-known that well-designed redundnat rows have positive impacts on the error performance of LDPC codes,e.g., waterfall threshold and error floor. Thus, it will be a potential way to improve the performance of QC-LDPC codes, which may result in new code constructions from the view of transform domain. In a word, this research not only will advance the analysis of QC-LDPC codes, but also will provide guidelines for LDPC code designs for future communication systems and storage systems.

近年来准循环（QC）LDPC 码的重要进展是将有限域离散Fourier 矩阵变换用于分析某些代数准循环LDPC 码的性质，如校验矩阵的秩，最小码间距离以及最小环路长度(girth)。但是目前的分析有很强的局限性，仅限于特定的四类代数码，并且必须满足某些约束条件。本研究拟深入分析QC-LDPC 码校验矩阵的秩，从共轭矩阵出发，利用Fourier 变换及近世代数理论来首次尝试得出通用的矩阵分析。其意义在于：一方面校验矩阵的秩是设计码时最基本的考虑因素；另一方面秩与冗余行紧密相关（矩阵的行数减去秩等于矩阵的冗余行）,而恰当的冗余行不仅能提高LDPC 码在低信噪比下的纠错性能，而且能够有效降低错误平台。深入研究冗余行及其在不同信道下对LDPC 码性能的影响将为码的构造提供新的优化准则。本研究的开展不仅能促进现有LDPC 码的理论分析，而且将对未来通信系统和存储系统制定LDPC 码标准有指导意义。

本课题针对具有准循环（quasi-cyclic，QC）结构的LDPC码展开研究。通过引入有限域矩阵傅里叶变换，进行QC-LDPC码秩和最小距离的通用分析，并以此为基础进行码的构造和编码优化。本课题取得了以下三个方面的进展：1、QC矩阵秩的频域求解以及冗余行对码性能的影响分析；2、QC-LDPC码生成矩阵频域密度优化；3、QC-LDPC码频域编码算法。.QC-LDPC码是LDPC码的一个重要子类，具有一定结构特征的QC-LDPC码性能优异，并且其QC结构允许其编、译码器通过移位寄存器简单实现，具有巨大的应用前景。课题组从共轭矩阵出发，通过引入有限域矩阵傅里叶变换（Galois Fourier transform，GFT），首次尝试得出了QC矩阵的通用矩阵分析，得出了具有一般性的QC矩阵秩的上界。以此为基础，课题组进一步分析了非满秩QC-LDPC码校验矩阵的冗余行对码性能的影响，并提出了一种基于冗余行的QC-LDPC码构造方法。课题组进一步发现，冗余行不仅可以对QC-LDPC码的译码性能有帮助，而且可以帮助降低其QC生成矩阵的密度。实际上，在时域上通过线性变换即可改变QC-LDPC码QC生成矩阵的密度，但在时域上密度优化的求解无法在多项式时间内求得。课题组通过有限域傅里叶变换，在频域进行频点分离，得出了可解的频域密度方程，从而可以解得密度次优的QC生成矩阵，大幅降低编码器的硬件资源和功率消耗。最后，课题组通过研究QC-LDPC码频域校验矩阵和生成矩阵与时域校验矩阵和生成矩阵的对应关系，提出了一种全新的QC-LDPC码编码算法。该编码不同以往的时域编码算法，通过利用频域生成矩阵的对角阵结构，引入快速GFT，可以极大的降低多进制和二进制的QC-LDPC码编码复杂度，完成QC-LDPC码的编码优化。