几类非牛顿流体运动方程的正则性理论研究

This project is mainly engaged in the regularity theory research on several kinds of non-Newtonian fluid equations, which corresponding to the Navier-Stokes equations. These equations includes the compressible Navier-Stokes equations, the non-Newtonian fluid equations coming from the modified Navier-Stokes equations, electrorheological fluid equations, the non-Newtonian poly-porous medium equations with the form of modified Navier-Stokes equations. Although the non-Newtonian fluid mechanics has very widespread application in the fields which are closely related to human life, such as chemical, medicine, biology, geology, glaciology. Up to now, the results about non-Newtonian fluids are quiet few. And the research of it is very more difficulty. Even more, there are no any general mathematics research frameworks. The research methods of non-Newtonian fluids are still under exploration. Thus, there are still many problems of non-Newtonian fluids needed to be solved; the general theory is far from perfect. This means that the objective of our research has very important significance both in the theory research and in the practical application.

本项目主要致力于几类与Navier-Stokes方程相关的非牛顿流体运动方程的正则性理论研究。这些方程包括可压的Navier-Stokes方程、由Navier-Stokes方程修定的非牛顿流体运动方程、电流变液方程以及具有修定的Navier-Stokes方程形式的非牛顿多方渗流方程。非牛顿流虽然在化学、医学、生物学、地质学以及冰川学等与人类生活息息相关的领域都具有极其广泛的应用。但是，有关非牛顿流的结果至今仍然很少，研究难度也很大，也没有固定的数学研究框架可循，有关的研究方法更是还在探索之中。可见，非牛顿流尚存在大量的问题亟待解决，一般的理论还远未完善。因此，本项目的研究具有十分重要的理论研究意义和实际应用价值。

非牛顿流体运动方程既可描述像细胞学、高分子化学、血液流变学等实际生活相关的前沿交叉学科，乃至地质学、冰川学等对人类生存和生活环境息息相关的基础学科等，牛顿流体运动模型无法完整描述实际情况的变化规律；又可描述像熔融塑料、聚合物的解决方案、染料、清漆、粘合剂、油漆、纸浆和像血液之类的生物液体等人类生活当中紧密相关现象的变化规律。因此，关于非牛顿流体运动方程的研究具有广泛地实际应用价值。. 然而，遗憾的是，至今为止，有关非牛顿流体运动方程的结果仍然非常少。非牛顿流体运动方程中尚存在大量的问题，尤其是有关解的正则性等问题。可见，对于非牛顿流体运动方程的研究具有十分重要的理论研究意义。. 本课题主要研究由Navier-Stokes方程推导出的非牛顿流体运动方程、由修定的Navier-Stokes方程推导出的可压、不可压非牛顿流体运动方程、电流变液方程以及具有修定的Navier-Stokes方程形式的非牛顿多方渗流方程等几类非牛顿流体运动方程的正则性理论研究。. 首先，利用Fourier变换、半群方法以及能量方法等技巧，建立了非线性Ginzburg-Landau方程组在适当条件下弱解的存在性；其次，结合Hardy-Littlewood最大函数的性质，Lipschitz连续性等特点以及McShane扩张原理等方法，构建了非牛顿流体运动力学方程在一定的结构性条件下很弱解的比较原理。再次，充分考虑半群理论、 Gronwall不等式以及插值不等式等偏微分方程研究技巧，得到几类非牛顿流体运动方程的动力学行为；此外，利用物理学中的场论知识，通过Hodge分解构造适当的检验函数；进而结合填洞技巧、各种不同形式的不等式以及插值不等式等，揭示非牛顿流体运动力学方程的很弱解与经典意义下的弱解之间的关系，从而提高了这几类相关的非牛顿流体运动方程解的可积性结果。最后，再次结合物理学中的场论知识和偏微分方程正则性理论中的调和逼近技巧等分析技巧和研究思想，并进一步利用给定的结构性条件，构建了非牛顿流体运动方程很弱解的最优部分正则性结果。. 最终，通过本项目的资助，顺利完成课题的研究计划，达到预期目标。