描述玻色爱因斯坦凝聚现象的偏微分方程模型的数学理论研究

This project is aim to the mathematical theory research on the partial differential equations of describing the Bose-Einstein condensed phenomenon and the coupling systems of Ginzburg-Landau equation and Schrodinger eqution. And the exstienced method of studing Ginzburg-Landau equation is invalid to the systems of our project. Therefore, in this subject, we will be mainly using the method of nonlinear analysis, the method of energy and so on, and explore some new methods to consider the well-posedness and regularity theories of the above system. First of all, according to the characteristics of the above system itself, using the though and the technique of nonlinear analysis, combining with different interpolative estimations, we can consider the well- posedness theory of the solution of above nonlinear partial differential equations. Secondly, from the research ideas and skills of initial value problem with small data, we can establish the solutions theory of above initial value problems with small data. Finally, by exploring some new methods, and referencing and improving the studying ideas and skills and methods of nonlinear parabolic equations, combined with the research technique of regularity theory, we will discuss the theory of regularity and the properties of blow up in limited time and so on. In the methodology, we try our best to photograph echo with the mainstream direction of related disciplines, and establish the unique general method and general theory, which has very important meaning in enriching and developing the theory of nonlinear partial differential equations.

本项目致力于对描述玻色－爱因斯坦凝聚现象的偏微分方程及金兹堡－朗道方程与薛定谔方程耦合的方程组的数学理论研究。由于研究金兹堡－朗道方程原有的方法对本项目所要研究的方程组失去效力。因此，本项目将主要利用非线性分析、能量估计等方法，并探讨新的方法研究上述方程组解的适定性和正则性等问题。首先，根据方程组本身的特性，利用非线性分析的思想和技巧以及各种插值估计，研究上述偏微分方程组解的适定性。其次，借鉴小初值问题的研究思想和技巧，考虑该方程组的初值问题。最后，探讨新的方法并借鉴研究非线性抛物方程的思想、方法和技巧，结合正则性理论的研究思想，讨论该非线性方程组解的正则性和在有限时间内的爆破等性质。在方法论上力求与相关学科的主流方向相呼应，创立独具特色的普遍方法和一般理论，对丰富和发展非线性偏微分方程的理论具有十分重要的意义。

本项目着重针对描述凝聚态物理中的玻色爱因斯坦凝聚现象形成过程的偏微分方程以及由金兹堡朗道方程和薛定谔方程耦合的偏微分方程组的数学理论进行研究。凝聚态物理中的量子现象一直都是物理研究的前沿领域，尤其是本项目所研究的玻色爱因斯坦凝聚这一类具有奇异特性的量子现象，更是吸引了广大物理学家的关注。而且该量子现象的奇异性也使得它在芯片技术、精密测量和纳米技术等领域具有广泛的应用前景。. 然而由于研究金兹堡朗道方程原有的方法对本项目所要研究的数学模型失去效力，因此，我们必须寻找新的研究方法。本项目主要结合非线性分析、能量估计、以及非线性偏微分方程组正则性理论的研究技巧等方法对描述凝聚态物理中有关玻色爱因斯坦凝聚这一量子现象的凝聚状态形成过程的偏微分方程模型解的适定性和正则性等问题进行分析和研究。首先，根据方程组本身的特性，利用非线性分析的思想和技巧以及各种插值估计，研究本项目中数学模型的适定性问题。其次，借鉴小初值问题的研究思想和技巧，考虑相应模型的初值问题。最后，借鉴非线性抛物方程的思想、方法和技巧，结合正则性理论的研究思想等方法，讨论本项目所研究的数学模型解的正则性和在有限时间内的爆破等性质。通过这些方法的分析和应用，我们得到了本项目中所研究的数学模型在不同条件下解的适定性结果和相应的正则性理论。 . 这些方法和结果将极大地丰富和完善非线性偏微分方程组，尤其是金兹堡朗道方程解的存在性理论现有的方法，对其他方面的数学研究也会起到很好的借鉴作用。因此，本项目的研究具有非常重要的理论研究意义。