Mock模形式的构造研究及其在密码学中的应用

With the high-speed development of modern information technology and Internet, information security increasingly becomes the core issue of national development, and the digital signature algorithm which is based on the elliptic curve is the world's high security design, the research on it is very active now. The relevant automorphic forms theory is one of the most active branches of mathematics in the core of mathematics,it has close and extensive connection with many branches of mathematics and application in them. Especially in recent ten years, remarkable breakthrough and development appeared in its theory and application, particularly in the great progress of singular moduli theory and the completely uncovered field of mock theta function,D.Zagier、G.Andrew、S.Zwegers、K.Bringmann、K.Ono and many mathematicians proposed lots of profound results on them, but how to apply these to the elliptic curve cryptosystem is a new area. The project mainly looks for mock modular infinite families functions, presents new way of mock modular forms from multidimensional angle, reveals new systems of elliptic curve cryptosystem based on the theory of mock modular forms and Jacobi forms, improves and optimizes the elliptic curve digital signature algorithm design.

随着现代信息技术和互联网的高速发展，信息安全越来越成为国家发展的核心问题，而基于椭圆曲线的数字签名算法是当今世界安全性较高的设计，国内外研究十分活跃。与其相关的自守形式理论为当今核心数学领域最活跃的数学分支之一，它和众多数学分支有着密切而广泛的联系与应用。特别是近十多年来，在其理论和应用方面则出现了令人瞩目的突破和发展，尤其是奇异模理论取得极大进展和Mock theta函数之谜被彻底揭开，D.Zagier、G.Andrew、S.Zwegers、K.Bringmann、K.Ono等人给出了许多深刻的结果，如何将其应用于椭圆曲线密码体制是一个新的领域。本项目主要寻找新的构造Mock模形式的无穷类函数，提出多维角度下实现构造Mock模形式的新方法，揭示基于Mock模形式和Jacobi 形式理论的椭圆曲线密码新体制，改进和优化椭圆曲线数字签名算法设计。

随着现代信息技术和互联网的高速发展，信息安全越来越成为国家发展的核心问题，国内外研究十分活跃。而与其相关的模形式理论为当今核心数学领域最活跃的数学分支之一，它和众多数学分支有着密切而广泛的联系与应用。特别是近十多年来，mock theta函数之谜被彻底揭开，这一理论是量子密码学、椭圆曲线密码学、弦理论、数论、交通信息网络安全等领域的重要理论基础，有着十分重要的应用价值。. 本项目主要围绕mock theta 函数及其相关问题展开研究，我们寻找到了新的构造 mock模形式的无穷函数类，提出多维角度下构造mock模形式的几种新方法，解决了mock theta函数的一个公开问题，构造了几类权为1/2的mock 模形式及其对应的mock theta函数，解决了mock theta函数的两类对偶问题，得到了许多关于mock　theta函数的径向极限，揭示了半整权的尖形式的傅里叶系数的算术性质，讨论了基于mock模形式理论的椭圆曲线密码新体制，将mock theta函数的理论和结果应用在了交通信息网络安全中，解决了社会发展中的实际问题。. 本项目的重要结果为：首先，我们给出了各阶mock theta函数的异侧级数的两类对偶关系，即Appell-Lerch和表示及部分theta 函数表示，彻底解决了这一问题；其次，考虑 mock theta 函数 f(q) 的双侧级数，定义了三个与其相关的新函数并证明了它们是权为 1/2 的混合 mock 模形式，得到了它们对应的 mock theta 函数；再次，研究了带 Dirichlet 特征的半整权 Hecke 本征形式的尖形式 Fourier 系数在特殊整数序列上的符号变化等算术性质，得到了一些与整权尖形式相似的结果；第四，研究了一个3阶mock theta函数的Ramanujan猜想问题，对Ramanujan 断言中估计项 O(1) 两种不同表示形式进行了研究，建立了它们之间的本质联系；第五，讨论了mock模形式理论在椭圆曲线密码学、大数据外包加密技术、交通网络信息安全算法中的应用问题。. 本成果的这些理论与结果与著名的月光猜想、椭圆曲线上的BSD猜想、群表示论、代数几何、微分方程、同调分析、量子密码、弦理论、大数据外包、网络信息安全等领域有着重要的联系与应用。