有限秩monoidal范畴及相关问题

The semisimple monoidal categories of finite rank (or fusion categories) play a key role in the classification of finite dimensional semisimple Hopf algebras. Therefore, it is very important to further study the monoidal categories of finite rank, which may play the more important role in the classification of finite dimensional Hopf algebras. In this project, we plan to study the monoidal categories of finite rank and the relative topics. We study the invariants of the monoidal categories of finite rank. Except Green ring, we will give the other important invariants which, together with Green ring, determine the monoidal categories of finite rank completely. Then we study the reconstruction of the monoidal categories of finite rank. We display a general precedure to construct a monoidal category of finite rank from some given structures. Next, we study the categorifications of the Green rings of Taft algebras. We classify the monoidal categories of finite rank which have the same representation rings and Auslander algebras with Taft algebras. We also study the representation rings of the Drinfeld quantum doubles of Taft algebras. We decompose the tensor product of two indecomposable modules into the direct sum of indecomposable modules, and describe the structure of the representation rings. Finally, we study the Auslander algebras of several Hopf algebras. Using Auslander algebras, we characterize the corresponding monoidal categories.

在有限维半单Hopf代数的分类研究中，有限秩半单monoidal范畴（或fusion范畴）起着关键性的作用．进一步研究有限秩monoidal范畴显得非常重要，有望对Hopf代数的分类发挥更大的作用．本项目拟研究有限秩monoidal范畴及其相关问题．研究有限秩monoidal范畴的不变量，给出Green环以外的其它重要不变量使得这些不变量能够完全确定monoidal范畴的结构．研究有限秩monoidal范畴的重构，给出从某种给定结构出发构造有限秩monoidal范畴的一般方法．研究Taft代数的表示环的范畴化，给出有限秩monoidal范畴的分类使得它们与Taft代数有相同的表示环和Auslander代数．研究Taft代数的Drinfeld量子偶的表示环，给出张量积模的分解式和表示环的结构．研究若干有限表示型Hopf代数的Auslander代数，利用它们刻画相应monoidal范畴的结构．

Hopf代数的模范畴是monoidal范畴，也称为张量范畴，利用张量范畴分类Hopf代数是一个有效的方法，而Green环是monoidal范畴的不变量，因此研究monoidal范畴的不变量和重构定理，以及Hopf代数的Green环意义重大。本项目主要研究有限秩monoidal范畴的不变量和重构定理、Taft代数的Drinfeld double的Green环、某些低秩 -环的范畴化、群代数的Hopf-Ore扩张的权模范畴的Green环和广义Hopf-Ore扩张以及一些相关课题。得到了完全刻画有限秩monoidal范畴的不变量：Green环、Auslander代数以及一个相应的结合子系统，给出了用这些不变量构造有限秩monoidal范畴的重构定理；通过比较Taft代数的Drinfeld double及其两簇cocycle形变的Hopf代数的一些列性质知道：cocycle等价的Hopf代数的模范畴没有必然的联系，并且得到了Taft代数的Drinfeld double的Green环；利用重构定理得到了一簇秩为2的 -环的半单范畴化、得到了群代数的Hopf-Ore扩张的权模范畴的Green环和广义Hopf-Ore扩张的结构等。这些结果有助于对Hopf代数和张量范畴的进一步研究。