函数空间上的算子理论中的有限秩问题

In this project, we main want to study these problems of finite rank in operator theory over function spaces. For example, what are the sufficient and necessary conditions for the commutator of Toeplitz operator be finite rank on the Hardy space of the ploydisk and unit ball ? Under what circumstances, the product of finite Toeplitz operators modulo a finite rank operator is unrelated with the order of the product in the unit disk; What are the sufficient and necessary conditions for the finite sum of pairwise product of Toplitz operator ang Hankel operator be finite rank operator in the unit disk? We will study the sufficient and necessary conditions for the product two Toeplitz operators with n-harmonic function symbols be equal to the finite rank perturbation of a Toeplitz operator. For semi-commutator and commutator of Toeplitz operators on pluriharmonic Bergman space and pluriharmonic Hardy space, what is the condition of those to be finite rank operator, and etc..The finite rank operator is very important in operator theory and operator algebra. There are many finite rank problems which have important influence in Toeplitz operator theory. Our research will be further enriching the theory of operator.

本项目主要研究函数空间上的算子理论中的有限秩问题，如多圆盘与球上的Hardy空间上的Toeplitz算子的交换子是有限秩算子的条件是什么？什么情况下，单圆盘Hardy空间上的几个Toeplitz算子的乘积模掉一个有限秩算子与乘积的顺序无关？单圆盘Hardy空间上的Toeplitz算子或Hankel算子的两两乘积的有限和为有限秩算子的充分必要条件是什么？多圆盘Bergman空间上具有有界n-调和函数符号的两个Toeplitz算子的乘积等于一个Toeplitz算子的有限秩扰动的充分必要条件是什么？多重调和Bergman空间与多重调和Hardy空间上的Toeplitz算子的半交换子与交换子为有限秩算子的条件是什么？等等。有限秩算子在算子理论与算子代数中有非常重要的作用，在Toeplitz算子理论中已经产生许多有重要影响的有限秩问题，我们的研究将进一步充实算子理论。

一、.Bergman空间上的Toeplitz算子是一个Toeplitz算子的有限秩扰动: 在单圆盘Bergman空间上，Ahern 与Cuckovic证明，具有有界调和符号的两个Toeplitz算子等于一个Toeplitz算子当且仅当Browon-Halmos条件成立（J.F.A, 187(2001), 215(2004)）。.我们简称具有有界调和符号的Toeplitz算子为调和Toeplitz算子。.随后，Cuckovic在给h限定的情况下，给出两个调和Toeplitz算子是符号为h的Toeplitz算子的有限秩扰动的充分必要条件（Integr.Equat.Oper.Th.,59(2007)）。郭坤宇，孙顺华与郑德超证明两个调和Toeplitz算子的半交换子为一个有限秩算子当且仅当这个半交换子为零。.很自然地，我们有如下的问题：.在Bergman空间上，两个调和Toeplitz算子，是否可以为一个Toeplitz算子的非零有限秩扰动？.我们猜想，在Ahern 与Cuckovic给出的条件下，上述问题的答案是否定的。.我们首先将Cuckovic的结论推广到一般情形。在此基础上，证明左解析，右余解析的两个Toeplitz算子的乘积为一个Toeplitz算子的有限秩扰动，仅当这些符号都是有理函数。接下来，证明了，两个调和Toeplitz算子，不能为一个Toeplitz算子的一秩扰动。但最后，我们构造出两个调和Toeplitz算子是一个Toeplitz算子的大于1的任意有限秩扰动。完美地回答了上述问题。.二、.Pluriharmonic Hardy 上的Toeplitz算子: 2013年，我们在中国科学上的文章中引入Pluriharmonic Hardy空间及其上的Toeplitz算子。.在本项目中，我们解决了《中国科学：数学，43（2013），第7期，675-690》中的一个猜想，并获得具有有界多重调和符号的两个Toeplit半交换与交换的充分必要条件。.三、应用算子理论的方法去研究一些数学物理方程，如白噪声驱动的反应扩散方程、退化的半线性抛物方程、非经典扩散方程、三维Camassa-Holm方程、Boussinesq方程等，取得系列成果。