自适应数值微分算法及其在图像中的应用

Numerical differentiation arises in many scientific studies and engineering applications, especially when the exact derivatives are discontinuous or changing rapidly. On the one hand, numerical differentiation is a classical ill-posed problem, its main difficulty comes from the instability of computing the derivatives directly; on the other hand, numerical differentiation is a local operation, the derivative at a given point only relies on the function value nearby. Therefore, the local changing should be considered when we construct the stable numerical differentiation algorithms. Considering the key role of the regularization parameter in regularization method, this can be realized by choosing the regularization parameter adaptively. The program aims to research the adaptive numerical differentiation algorithms by choosing the regularization parameter adaptively, in the framework of the finite difference method, the mollification method and the general regularization method. The choice of the regularization parameters should rely on the local variations of the function and its error level. Based on this, we will focus on the construction and algorithm implementation of adaptive choice strategies, the convergence and error analysis of the corresponding approximate derivatives. Further, we will give their applications in the image feature detection and media conductivity imaging. The expected results will hopefully contribute to provide stable and adaptive strategies for the numerical differentiation algorithms, and enhance its practicability in specific problems.

数值微分在科学研究及工程实践中有广泛的应用价值，尤其是精确导数有间断或急剧变化的情形。一方面，数值微分是一类典型的不适定问题，其求解的本质困难在于解的不稳定性；另一方面，数值微分是一种局部运算，函数在一点的微分只与该点附近的取值有关。因此，我们在构造稳定的数值微分算法的同时，还应考虑到函数的局部变化信息。鉴于正则化参数在稳定化算法中起到的关键作用，这种考虑可通过自适应选取正则化参数来实现。本项目旨在有限差分法、平滑化方法和一般正则化方法的框架下，通过自适应选取正则化参数构造自适应的数值微分算法。正则化参数的自适应选取须考虑到函数的局部变化率及其误差水平信息。基于此，我们将重点讨论自适应策略的构造及算法实现、求得近似导数的收敛性及误差分析，并进一步讨论其在图像特征检测问题及介质导电率成像反演问题中的应用。本项目的预期成果有望为数值微分提供稳定的自适应算法，增强其在具体问题中的实用性。

数值微分，即由给定函数的测量数据近似求其导数，在科学研究及工程实践中有广泛的应用价值。数值微分是一类典型的不适定问题，其求解的本质困难在于解的不稳定性，为此，如何构造稳定的微分算法一直是数值微分的研究重点。常见的数值微分算法有三类：有限差分法、平滑化方法和一般正则化方法。本项目主要在这三类方法的框架下，通过自适应选取稳定化参数构造自适应的数值微分算法，并给出其在图像问题中的应用，构造了自适应的图像特征检测算法。. 在有限差分法中，我们构造了任意阶的有限差分格式，分析了差分格式的代数精度及余项，给出了差分步长的自适应选取策略。在平滑化方法中，我们给出了磨光核函数的通用选取准则以及相应近似导数的误差估计，给出了两种具体的磨光核函数取法，分析了尺度参数的选取策略。在正则化方法中，我们将数值微分问题等价转化为第一类积分方程的求解问题，分别用Lavrentiev正则化方法和局部正则化方法求解该积分方程，分析了正则化解的收敛性和稳定性，给出了正则化参数的先验及后验选取策略，并在一定条件下得到了正则化解的误差估计及收敛速度。考虑图像特征检测问题，我们给出了基于计算拉普拉斯运算的图像边缘检测算法。通过将拉普拉斯运算改写为第一类的积分方程，提出了一种基于求解偏微分方程正问题的正则化方法，构造了正则化参数的无人管理的自适应选取策略。此外，我们还推广了求解数值微分问题的Lanczos积分法，构造了具有更高收敛精度的积分算子，并在一定的假设条件下给出了近似导数的误差估计及步长的选取策略。. 求解数值微分问题的自适应策略有望推广到求解一般的反问题，构造求解一般反问题的自适应正则化方法。自适应的数值微分思想也可进一步推广到图像特征检测、图像去噪及图像增强等领域，进而构造基于图像局部数据的自适应图像处理算法。.