数值微分及其在医学成像中的应用

Numerical differentiation, especially when the exact derivatives are discontinuous or changing rapidly, arises in many scientific studies and engineering applications. This kind of problem aims to determine the derivatives of a given function from its measurement data, which is a classical ill-posed problem. Its main difficulty comes from the instability of computing the derivatives directly. Introducing the regularization ideas from different angles, the program aims to research the stable algorithms for numerical differentiation and its applications in medical imaging. The program will be carried out in two aspects: on the one hand, based on the measurement data and its noisy level, construct the adaptive a-posteriori choice strategy of the difference step in finite difference method, study the numerical implementation of this strategy, the convergence analysis of the corresponding approximate derivative and its error estimates; on the other hand, by expressing the Laplacian operation of binary function in the form of solving an integral equation, construct its stable algorithm by introducing the local regularization method, study its numerical implementation and convergence analysis, and its applications in the reconstruction algorithm for the magnetic resonance electrical impedance tomography (MREIT). The expected results of the program will contribute to the choice strategy of the difference step in finite difference method, the stable algorithm for the Laplacian operation of binary function and the effective realization of the reconstruction algorithm for MREIT.

数值微分(尤其是精确导数有间断或急剧变化的情形)在科学研究和工程实践中有广泛的应用价值。这是一类典型的不适定问题，其求解的本质困难在于解的不稳定性。从不同角度引入正则化思想，本项目旨在研究数值微分的稳定化算法及其在医学成像中的应用。拟从以下两方面开展研究：一方面，基于测量数据及其误差水平的信息，构造有限差分法中差分步长的自适应后验选取策略，研究该策略的数值实现、相应近似导数的收敛性及误差估计分析；另一方面，将二元函数的拉普拉斯运算表示为求解积分方程的形式，引入局部正则化方法构造其稳定化算法，研究该算法的数值实现及收敛性分析，并给出其在磁共振电阻抗成像技术(MREIT)反演算法中的应用。本项目的预期成果有望为有限差分法中差分步长的选取提供新策略，为二元函数的拉普拉斯运算提供新算法，为MREIT反演算法的实现提供新思路。

数值微分，即由已知函数的离散测量数据近似求其导数，在众多科学和工程领域中有广泛的应用价值。这是一类典型的不适定问题，其求解的本质困难在于解的不稳定性，即当测量数据有较小扰动时，对其直接求导产生的误差可能是任意大的。为此，如何构造稳定的微分算法一直是数值微分的研究重点。除求解不适定问题的正则化方法外，数值微分作为一个具体问题，还有其特有的解法，如有限差分法、平滑化方法等。传统的数值微分算法在构造稳定近似导数的同时，往往忽视了微分问题的本质：求导是一个局部运算，一点的导数只与该点附近的函数取值有关。为使数值微分算法在保证近似导数稳定性的同时，能充分体现函数的局部变化特性，本项目从两方面开展研究：一方面，在有限差分法中构造并实现了差分步长的自适应后验选取策略，讨论了该策略的可解性，分析了相应近似导数的收敛性及误差估计。相对于单步长的有限差分法，数值试验表明了自适应差分步长的优越性，尤其是在精确导数有间断或急剧变化的情形。从直观上看，差分步长在函数值急剧变化的部分取值较小，而在函数值变化平缓的部分取值较大。另一方面，将数值微分问题等价转化为第一类积分方程的求解问题，给出了求解数值微分问题的局部正则化方法。局部正则化方法充分利用了函数的局部信息，使得该方法求得的近似导数能够很好地反映函数的局部变化情况。此外，还分析了正则化参数的先验及后验选取策略，并在一定光滑性假设条件下给出了相应近似导数的误差估计。最后，给出了数值微分算法在磁共振电阻抗成像技术(MREIT)以及图像特征检测问题中的应用，验证了稳定数值微分算法在具体问题中的实用性。