Calabi-Yau范畴上的非交换几何结构

Calabi-Yau categories are linear categories equipped with Poincare duality on their morphism space. They are widely studied by mathematicians in the past two decades, and have important applications in algebraic geometry, symplectic geometry, representation theory and mathematical physics (especially mirror symmetry). The current program is to study several non-commutative geometric structures on Calabi-Yau categories and Calabi-Yau algebras; it mainly consists of: 1) studying the non-commutative Poisson structure and its quantization problem on Calabi-Yau categories, and the related Batalin-Vilkovisky structure, the Lie-infinity structure, as well as their applications in symplectic geometry such as in Fukaya categories; 2) studying the non-commutative Poincare duality structure on Calabi-Yau algebras, and in particular, its applications to the cyclic Deligne conjecture; 3) as applications, studying the relationships between the non-commutative geometric structures on the fundamental group algebra of aspherical manifolds (as a special type of Calabi-Yau algebras) and string topology.

Calabi-Yau范畴是指在态射空间上满足Poincare对偶的线性范畴，是近二十年来被广泛研究的一类代数结构，在代数几何、辛几何、表示论与数学物理特别是镜像对称中有着重要的应用。本申请项目主要研究Calabi-Yau范畴以及与之相关的Calabi-Yau代数上的非交换几何结构，主要包括：1、研究Calabi-Yau范畴上的非交换Poisson结构，以及与之相关的Batalin-Vilkovisky代数结构、Lie无穷代数结构和该Poisson结构的量子化问题，以及它们在辛几何如Fukaya范畴中的应用；2、研究Calabi-Yau代数上的非交换Poincare对偶的性质，特别是它在Cyclic Deligne猜测中的应用；3、作为应用，研究aspherical流形的基本群的群代数，作为一类特殊的Calabi-Yau代数，其上的非交换几何机构与弦拓扑的关系。

Calabi-Yau代数的概念是由芝加哥大学的Ginzburg于2007年引进的，并在近些年获得了广泛的研究。与此同时，人们逐渐发展了非交换泊松结构、非交换辛结构的概念。在这些工作的基础上，我们主要研究了Calabi-Yau代数上的非交换泊松结构和辛结构，以及它们在几何中的应用。在Ginzburg、Crawley-Boevey和Van den Bergh等人工作的基础上，我们证明：1、Koszul Calabi-Yau代数上存在一个“导出意义”下的非交换泊松结构和非交换辛结构，以及它们之间的联系，并且证明了这两个结构分别诱导了其导出意义下的表示概型(derived representation scheme)上的、导出意义下的泊松结构和辛结构；2、带有泊松结构的多项式环的形变量子化及其Koszul对偶的Hochschild上同调环做为Batalin-Vilkovisky代数是同构的，从而其循环同调群作为Gravity代数是同构的; 3、我们还证明了一类箭图上的“项链李代数”在其箭簇上的作用是可迁的，从而部分地证明了表示论专家Bocklandt和Le Bruyn的一个猜想。这些结果加深了我们对Calabi-Yau代数和Calabi-Yau范畴的理解。