具有高阶谱问题可积方程初边值问题解的长时间分析

Integrable partial differential equations (PDEs) can be analyzed by means of the inverse scattering transform, whose introduction was one of the most important developments in the theory of nonlinear PDEs in the 20th century. Until the 1990s the inverse scattering methodology was pursued almost entirely for pure initial-value problems(IVPs). However, in many laboratory and field situations, the solution is generated by what corresponds to the imposition of boundary conditions rather than initial conditions. Thus, an understanding of long time asymptotics behavior for initial-boundary value problem(IBVPs) is crucial. The purpose of this project is to study the long time asymptotic behavior of the solution of IVPs, IBVPs for nonlinear integrable PDEs with higher order spectral problem. The proposal has three objectives: 1, Derive asymptotic formulas in Painleve sector for Sasa-satsuam equation by using a nonlinear version of the steepest descent method; 2, Study the long time asymptotic behavior for the Tzitzeica equation: IVPs; 3, Derive the asymptotic behavior for Sasa-satsuma equation and Lenells equation: IBVPs.

众所周知，反散射方法是20世纪可积系统理论中的里程碑性工作，直到上个世纪90年代几乎只能用来处理初值问题。然而，在许多的实验室现场和现场情况下，解的产生一般都是通过对应于边界条件的施加而不是初始条件而产生的。所以初边值问题解的长时间渐近分析的研究是非常核心的。本项目研究具有高阶谱问题可积方程初值问题、初边值问题解的长时间行为分析。本项目的主要包含如下三部分内容：1，利用非线性速降法给出Sasa-satsuma方程初值问题解在Painleve区域上的长时间渐近表达；2，考虑具有高阶谱问题可积方程（如：Tzitzeica方程）初值问题解的长时间行为分析；3，研究具有高阶谱问题可积方程（如：Sasa-satsuma方程、Lenells方程）初边值问题解的长时间分析。

Riemann-Hilbert （RH）方法，作为反散射方法的一个推广，在求解和分析可积方程初(边)值问题上起到了至关重要的作用。 本项目主要是利用RH方法研究具有高阶谱问题的可积方程的初边值问题。我们利用RH方法获得了一些具有高阶谱问题可积方程的精确解，利用RH方法分析了Lenells方程、Tzitzeica方程和Sasa-Satsuma方程初(边)值问题解的长时间渐近行为； 与合作者一起, 首次给出了高阶可积方程初值问题解在Painleve区域上的高阶渐近表达式，也尝试着考虑了可积方程族的初值问题解的渐近分析。项目成果主要以论文展现, 主要发表在《Journal of Differential equations》和《SIAM Journal on Mathematical Analysis》等杂志上。 完成了项目的预期目标。