奇异微分算子的反谱和反散射问题

It is well known that the research on the inverse spectral and scattering problems is one of the fastest growing topic in the field of applied mathematics. As a whole, by normalizing and integrating the mixed spectral data, and by taking the Weyl function as the main tool, the goal of this project is to establish and obtain some new methods and new results which are associated with the inverse spectral-scattering problems of the singular differential operators. The main contents are as follows. (1) Investigate the distribution of the spectrum and property of the scattering matrix for the singular Schrodinger operators; calculate the sharp constant of Lieb-Thirring inequality. (2) Study the inverse scattering problems, especially seek an observable alternative to norming constants in order to guarantee the uniqueness for inverse problems. (3) Consider the inverse spectral problem under condition that the singular operator has only pure point spectrum, establish the half-spectrum uniqueness theorem, three spectra theorem, and the uniqueness theorem for some spectral information to being missing, and further establish the reconstruction algorithm of potentials. (4) By virtue of the perturbed potentials, we will provide a new form of Borg’s two-spectra theorem. The above researches will further enrich and develop the differential operator theory, and provide the theoretical foundation for solving the problems related to the physics.

反谱和反散射问题是应用数学中最为活跃的研究课题之一。本项目研究目标是，通过对混合谱数据整合和规范，以Weyl函数为主要工具，拟形成和得到奇异微分算子反谱和反散射问题研究的新方法和新结果。具体内容有：探究奇异Schrodinger算子谱的分布和散射矩阵的性质，实现Lieb-Thirring不等式的sharp常数；研究反散射问题，特别考虑用可观测的物理数据替代规范常数以保证唯一性成立的问题；考虑算子仅有纯点谱的反谱问题，重点建立该问题的半逆谱定理、三组谱定理以及缺失谱信息情形下的唯一性定理，并实现重构算法；通过对势函数的已知扰动，建立唯一重构势函数的新两组谱定理。上述研究将进一步丰富和拓展微分算子理论，为解决相关物理问题提供理论基础。

受实际问题的驱动,微分算子反问题研究一直引起国内外学者的极大兴趣和高度重视,并已成为应用数学领域中发展和成长最快的课题之一.本课题的总体研究目标是:对一维Schrödinger微分算子,从新的观点出发研究其反谱和反散射问题.通过对混合类数据进行整合和规范,以Weyl函数为主要工具,形成和得到反问题研究的新方法和新结果.经过四年的研究,我们取得了以下重要结果.. 基于混合数据研究反散射问题.通过位势函数的部分信息替代不具备物理意义的规范常数和难以测量的特征值,课题组提出有效方法解决了反散射的唯一重构问题; 此外,还研究了内部或者边界含有弹簧的Schrödinger算子的反散射问题,并得到了类似结论.. 运用Mittag-Leffler分解解决反谱的可解性和重构问题.其主要思路是将待定的全纯函数“化大为小”,并与已知数据“对齐”;为Levin-Lyubarski插值公式提供了必要的应用环境.圆满解决了该反谱问题的存在性和重构问题.另外,该方法还能运用于内部传输特征值反问题.我们给出了该问题的可解性充要条件和重构算法.. 建立Weyl函数的分解以解决反谱的相关问题.该分解不仅能给出局部Marchenko唯一性定理一个非常简洁的证明,而且能建立混合谱数据之间的相互转化关系.该转化为我们提供了运用Krein-Nudelman(KN)插值公式的有力保证. . 应用KN插值公式解决基于混合数据的反谱问题.基于上述Weyl函数的分解,课题组借助KN插值公式解决了边界和内部带有阻尼的两类Stieltjes弦方程基于混合数据的反问题.也考虑了共振子的反问题,得到了该问题的可解性充要条件,并给出了重构算法.. 课题组还考虑了其它类型的反问题.研究逆结点问题,给出了反结点唯一性的sharp条件.研究偏微分方程的系数唯一确定问题,通过解的内部数据给出了实现系数唯一性的结论,该结果有效回答了Suzuki的非唯一性问题.. 课题组提出了上述若干新方法,并圆满解决了长期无人问津的关于混合谱数据的可解性和重构问题.该研究不仅拓展了微分算子反谱问题研究的数学理论,而且也提供了解决实际问题的有效途径.