运动媒质中电磁波散射问题和反散射问题数学研究

The theory for scattering and inverse scattering problems has a wide range of applications in areas like as radar, sonar, non-invasive detecting and geophysical prospecting, etc. In the meantime, owing to the demand for practical application(Synthetic Aperture Radar、invisibility cloak) and interdisciplinary overlapping, a special kind of scattering and inverse scattering problems that considering the motility and complexity(e.g. inhomogeneous, anisotropic, chirality and so on) of the media becomes to a focus of researchers' attention and is an important question for study in mathematical physics. Aimed at some pivotal problems in this area which are difficult or waited for solving, this project studies the numerical theory for electromagnetic scattering problems of multiple moving media. Based on this, we research the inverse scattering problem for moving media, construct rigorous mathematical models about some optimization design and shape recognition problems, discuss the uniqueness, existence and stability theory for solution, and meanwhile propose valid, fast and stable algorithm from the aspect of numerical method. This project is devoted to proposing a complete mathematical description and theoretical analysis for some scattering and inverse scattering problems that arise in moving media and supplying practical numerical algorithms for engineers and technicians.

媒质中散射、反散射理论在雷达，声纳，非损伤性探测和地球物理勘探等领域具有非常广泛的应用。同时考虑媒质的运动性和复杂性（如非均匀性、各向异性、手性等）的散射、反散射问题由于应用的需求(如合成孔径雷达、隐身材料)和多学科交叉使它成为研究的热点，是数学物理领域的重要研究课题。本项目针对此领域的难点和尚待解决的某些关键问题，研究多种运动媒质中电磁波散射问题的计算方法。在此基础上，研究运动媒质中的反散射问题，对某些形状识辨问题和优化设计问题建立严格的数学模型，讨论解的存在唯一性、稳定性理论，同时从计算方法方面给出有效快速并稳定的算法。本项目的宗旨是对运动媒质中某些散射、反散射问题给出一套较为完整的数学描述和理论分析，并为工程技术人员提供实用的计算方法。

本课题主要研究复杂媒质中散射、反散射问题。分别就运动媒质、手性媒质、斜入射、锥形波入射等几种情形的电磁散射、反散射问题以及Schrodinger方程散射问题进行了研究。在此基础上，还研究了一些其他数学物理正反问题。本课题完成了下述研究内容。.（1）分别利用变分理论和积分方程理论给出均匀手性介质中电磁波斜入射时散射问题解的存在唯一性等理论结果。给出了散射问题的数值求解方法，数值实验验证理论分析的正确性。.（2）对一种各项同性运动媒质中的障碍散射问题进行了研究。根据Maxwell方程组和相对性原理，推导了散射问题的数学模型（此时可以化为二维模型），给出了场量满足的微分方程和边界条件以及数学模型的求解方法。.（3）研究了锥形波入射一类声软无界粗糙表面或是H极化电磁场完全导体无界粗糙表面的反散射问题。另外关于锥形波入射，用PML方法研究了带有一类衰减位势的二维Schrodinger方程的正散射问题。.（4）研究了一些其他的数学物理正反问题：研究了一类时间分数阶扩散方程反问题的两种正则化方法 ；研究了一类源项中只含有空间变量的二维逆源热传导问题；研究了平行于坐标轴的带状区域上具有约束条件的椭圆方程Cauchy问题；基于广义Hermite函数使用谱和拟谱方法研究了数值微分问题；给出了一种计算机动画模拟不可圧流体的算法，即基于粒子的快速算法。. 本项目共培养硕士研究生10名，已发表标注基金资助的论文6 篇，其中SCI 收录4 篇，北大核心期刊2篇。另有5篇标注基金资助的文章待发表。课题组主要成员张磊博士中标国家自然科学基金青年项目一项。举办了第六届反问题理论与计算分析国际研讨会。先后邀请了10余位国内外专家学者来做了学术报告。另外在本项目基金的资助下，项目组成员参加了10次国内外的学术会议。