非对称微分算子的反谱理论与行波反问题

本项目旨在研究 (1)高维欧氏空间与流形中非对称微分算子的反谱理论，以及如何应用反谱理论思想方法来研究Riemann猜想；(2) 关于非均匀媒质中非线性反应扩散方程的行波反问题。在研究(1)中，通过响应算子与DN映射的方法从非对称微分算子的相关谱数据来决定微分算子本身或流形的几何结构，此工作可拓广关于自共轭算子的经典反谱理论；更重要的是，结合反谱理论思想和Hilbert-Polya猜想，寻找与Riemann zeta函数的非平凡零点相对应的非对称微分算子，从而有助于最终解决有重大科学意义的Riemann猜想。另外，在研究(2)中，将已取得的关于周期媒质中脉动行波反问题的结果推广到非周期媒质情形，并考察更一般的非线性源项，此类反问题的研究对揭示行波现象（如神经脉冲）形成的内在机制具有重要理论意义。

本项目研究非对称微分算子的反谱理论与行波反问题，主要包括黎曼流形上非对称微分算子的反谱问题，奇异非对称微分算子的谱展开问题，反谱理论在黎曼猜想研究中的应用，以及非均匀媒质中行波反问题的唯一性与稳定性。通过不懈努力，已基本上完成计划书中的主要研究任务，但对与黎曼猜想相对应的非对称微分算子的存在性证明尚未能找到。取得主要结果叙述如下：（1）若黎曼流形满足一定几何条件，则局部边界及其上的谱映射可以唯一决定流形和非对称微分算子的Gauge等价类。（2）得到关于某类奇异非对称微分算子广义谱函数的存在性证明。（3）利用经典反谱理论证明：在某稠密性假设下比黎曼猜想稍弱的Lindelof猜想成立。（4）证明由几类非线性抛物方程的行波波速及附加观察数据来决定非均匀煤质的反问题的唯一性及条件稳定性。