Navier-Stokes 方程组的若干存在性问题

Navier-Stokes system consists one of the most significant nonlinear partial differential equations. It describes the motion of fluids which has widely and extremly important applications in aerospace dynamics,astrophysics, geology mechanics, weather broadcasting,oil and gas detection and information progressing, etc. We will investigate the theory of Navier-Stokes equations concerning degeneracy, singularity near vacuum and strong nonlinearity for both compressible fluids and inhomogeneous incompressible flows. It includes 1)Existence problems for multi-dimensional compressible Navier-Stokes equations with constant or variable viscosity coefficients allowing arbitrary large data, especially two dimensional case. 2）Characterization of blowup set of smooth solutions for multi-dimensional compressible flows. 3)Global solvability for multi-dimensional inhomogeneous incompressible flows, including Navier-Stokes equations and related models.

Navier-Stokes 方程是一类非常重要的非线性偏微分方程,它主要刻画流体的运动行为，在航空动力学、天体物理、地质力学、天气预报、油气探测和信息处理等有着极其重要的应用背景。我们将研究Navier-Stokes方程组在可压缩流体和非齐次不可压缩流体中的退化性，奇性和强非线性的数学理论。这里面包括1）高维可压缩常系数和变系数的Navier-Stokes方程组一般大初值的存在性问题，特别是2维问题 2）高维可压缩流体光滑解爆破点集的性质研究3）高维非齐次不可压缩Navier-Stokes方程及其相关模型的整体存在性问题。

本项目主要研究高维可压缩流体允许真空初值的光滑解的适定性问题和奇性形成理论，以及弱解的存在性和唯一性问题，包括等熵/非等熵可压缩Navier-Stokes方程组，可压缩液晶流和非齐次不可压缩流体等等。同时本项目也研究了高维Euler方程组的粘性极限消失的问题。项目组成员在执行期间取得了如下成果：.. (1)彻底解决了诺贝尔奖得主约翰纳什(Nash)在1958年提出的关于可压缩热传导流体不规则运动的奇性形成问题，并证明纳什猜测对更为一般的非等熵流也成立。该技巧成功应用在一维完全可压缩流体的大时间渐近行为估计上，解决了该领域长期悬而未决的关于温度一致有界估计的公开问题。.. (2)得到了三维完全可压缩热传导Navier-Stokes方程组允许密度退化的大震荡初值的整体光滑解和弱解。这是允许真空初值的第一个光滑解（及弱解）的整体存在性结果，同时也是自1980年日本数学家Matsumura-Nishida建立的远离真空态小扰动整体存在性理论以来的重要进展。该成果也部分解决了Fields奖得主P.L.Lions关于整体弱解存在性的猜想。. . (3)对一般的光滑初值，建立了二维可压缩Navier-Stokes方程组带真空整体光滑解的存在性，极大地改进了Kazhikhov等在1995年对该类问题证明的整体存在性结果。.. (4)首次证明三维可压缩球对称Navier-Stokes方程组局部弱解的存在性和唯一性。.. (5)揭示了高维液晶流、非齐次不可压流体的爆破机制，并在此基础上建立了相应模型含真空的整体强解存在性。. . (6)得到了可压缩磁流体方程组和二维不可压缩非齐次流Cauchy问题允许真空初值的古典解的全局存在唯一性，对于三维Navier-Stokes-Fourier方程以及粘性依赖于密度的Navier-Stokes方程的一些特殊情形讨论了局部强解的存在性以及解的爆破。.. (7)一般初始条件下给出了非牛顿（剪切指标大于等于-1）流体整体弱解的存在性以及部分正则性。初始小扰动情况下或者在某些对称性假设条件下得到了整体强解的全局存在性。.. (8)在小扰动的条件下得到了碰撞冲击波的渐近稳定性，同时针对激波、接触间断讨论了Euler方程组的粘性消失极限问题，在小初始扰动情况下证明了由碰撞激波所产生的接触间断以及反射激波的渐进稳定性。