混合H2/H∞控制和滤波：仿射非线性离散随机系统

This project aims to study affine nonlinear discrete-time stochastic H2/H∞ control and filtering as well as their applications. Firstly, along with the development of computer technology, the study for discrete-time systems has become more and more important. Secondly, affine nonlinear systems are a class of very important nonlinear systems, which are ideal mathematical models in practical modeling, while randomness widely exists in every aspect of social life. Hence, our concerned models are important. Robust H2/H∞ design (controller/filtering design) has become one of the most important robust design methods for the last thirty years. The reason is two fold: On the one hand, a practical system is always subject to various external disturbances. On the other hand, different from the well-known Kalman filtering, it is not necessary to know exact statistical character such as distribution functions in H∞ or mixed H2/H∞ design. Compared with pure H2 or H∞ design, because mixed H2/H∞ design balances robustness with optimality simultaneously, it is more popular in practical engineering. Based on two-person, non-zero sum Nash game theory, this project will thoroughly solve the mixed H2/H∞ design. As applications, we will consider the applications of the theoretical results to synthetic gene network.

本课题旨在研究仿射非线性离散时间随机系统的H2/H∞控制和滤波及其应用。首先，伴随着计算机技术的发展，离散时间系统的研究变得越来越重要。其次，仿射非线性系统是一类非常重要的非线性系统，是实际建模的理想数学模型，而随机性广泛存在于社会生活的各个方面。因此，我们所研究的模型是重要的。鲁棒H2/H∞设计（控制器/滤波器设计）已经成为最近三十年来最为重要的鲁棒设计方法之一，原因有两个方面：一方面，一个实际的系统总是受到各种外来干扰的影响。另一方面，与熟知的Kalman滤波不同，在H∞或混合H2/H∞设计中，我们不需要知道外部干扰的精确统计特性如分布函数等。与单纯的H2或H∞设计相比，由于混合H2/H∞设计同时兼顾了鲁棒性和最优性，因此在实际中更受青睐。本课题将基于二人非零和Nash博弈理论彻底解决混合H2/H∞设计问题，同时探讨理论在合成基因网络中的应用。

离散时间随机系统是描述许多实际工程问题的理想数学模型，在数理金融、航空航天、系统生物学等诸多领域都有重要的应用。伴随着计算机技术的发展，离散随机系统的研究变得越来越重要， 这是因为连续时间随机微分方程的数值解在计算机求解的过程中实际体现为一个离散随机逼近的过程。鲁棒H2/H∞设计（控制器/滤波器设计）已经成为最近三十年来最为重要的鲁棒设计方法之一，因为它同时兼顾了鲁棒性和最优性，因此在实际中更受青睐。 本项目研究非线性离散时间随机系统的H2/H∞ 控制和滤波器设计及其应用, 获得了下列重要结果： 1. 我们发展了经典的 LaSalle 不变原理， 获得了离散随机动态规划方程， 从而彻底解决了非线性离散随机H2最优控制。 2. 我们引进了一种凸分析方法， 解决了非线性离散随机系统的 H∞ 控制问题， 并将理论成果应用到了合成基因电路的设计中。 3. 基于凸分析方法， 我们解决了非线性离散随机系统的H2/H∞滤波器设计。本课题的研究成果在系统生物学， 数理金融有潜在的应用价值。