光滑与非光滑系统的定性分析与极限环分支

This project is mainly concerned with polynomial differential systems on the plane, period functions of integrable systems, non-smooth dynamical systems and reaction-diffusion equations. The main topics to consider include bifurcation theory and methods of limit cycles of planar systems and their applications to some planar differential systems, bifurcation problems of critical period for integrable systems,bifurcation theory of limit cycles of non-smooth systems, existence and stability of traveling waves for reaction-diffusion equations, existence results of boundary value problems for fractional differential equations. More precisely, we will carry on the following studies: .1. We will give new methods and obtain new results on finding more limit cycles bifurcated from degenerate centers,homoclinic or henteroclinic loops of Hamiltonian systems under perturbations. The singular points on the homoclinic and heteroclinic loops may be hyperlic saddles,nilpotent cusps or nilpotent saddles. .2. We will estabilsh new theorems on the number and bifurcation methods of critical periods for polynomial integrable systems on the plane. .3. We will develop new theory on determining stability of homiclinic loops of new types and the number of limit cycles for non-smooth systems. .4. We will also explore new methods on the existence and stability of the traveling waves for reaction-diffusion equations, and investigate the existence results of periodic boundary value problems for fractional differential equations with complicated nonlinear terms and impulsive effects. . All of these problems are important and are in the frontier of diffentail erquations and dynamical systems,and have been paid much attensions widely.

本项目的研究对象主要涉及平面多项式微分系统、可积系统的周期函数、非光滑动力系统、反应扩散方程等，研究的主要问题是平面系统极限环的各种分支理论的深化与应用、临界周期的分支方法的探索、非光滑系统分支理论与方法的建立、反应扩散方程行波解的存在性和稳定性、分数阶方程边值问题解的存在性等，我们将：1.深入和系统地研究哈密顿系统的退化中心、同宿环与异宿环在扰动之下更多个极限环的分支问题和含高阶尖点、高阶幂零鞍点等同宿环与异宿环的扰动分支及其对多项式系统的应用；2.在可积多项式系统的临界周期的分支与个数方面建立新方法获得新结果；3.建立非光滑系统新型同宿轨的稳定性判定方法和极限环分支的新理论；4.给出反应扩散方程行波解的存在性和稳定性的新方法，并获得解析判定准则；研究具有复杂非线性项的或带有脉冲项的分数阶微分方程的周期边值问题解的存在性。以上这些问题是微分方程与动力系统学科普遍关注的重要前沿问题。

项目的研究对象是光滑与非光滑的常微分方程，研究的重点是建立这些系统的极限环的分支方法，获得给定系统极限环的个数,论文成果在极限环分支理论与方法等方面有一系列创新，在对多项式系统极限环个数的应用方面有一些最新结果。发表了近40篇学术论文，其中半数论文发表在国际权威杂志，例如在JDE(5), JMAA(4) NA(3),AMC(3),IJBC(6)。出版了英文专著《Bifurcation Theory of Limit Cycles》,获得了上海市自然科学奖三等奖，主要结果集中在以下两方面。.1. 在平面光滑系统的极限环研究方面：获得了一般Lienard多项式系统极限环个数的最佳结果（首次给出了极限环个数与多项式次数的非线性估计）；研究一类近哈密顿多项式系统的Hopf、Poincaré 环性数；在几类系统的同宿异宿分支理论研究方面，通过引进多重参数，建立了一种可以获得简单易用且可以获得更多个极限环的新方法；获得了二维系统的异宿分支和双异宿分支发现Alien极限环的新方法；研究一类含有同宿轨道与异宿轨道的可积系统在任意次多项式扰动下的同宿分支与个数问题，得到Melnikov函数在同宿轨道附近的近似展开式，同时给出部分系数的表达式；并且利用这些系数给出出现极限环的充分条件；研究二次系统三角形异宿环产生极限环的问题获得无界的Melnikov函数的展开式，发现了2个极限环；平面近哈密顿系统同宿分支方面获得Melnikov函数展开式中第5、6个等系数的系数的计算公式；证明研究平面系统极限环个数的Melnikov函数方法和平均方法是等价性问题。.2. 在平面非光滑系统的研究方面：研究了几类非光滑系统的分支理论，给出判定同宿环轨道稳定性的条件，证明了几种情况下（广义）同宿轨在扰动下产生极限环的唯一性与唯二性；建立改变同宿环轨道稳定性来获得极限环的方法并发现非光滑系统的Alien限环；探讨一类非光滑的Hamiltonian系统的极限环分支与个数问题，得到最新的下界；研究了一类非光滑系统的同宿分支问题，推广了分片Melnikov 函数；对一类分段多项式系统，通过研究首阶Melnikov函数的根的个数，针对多项式的多种次数，获得了极限环的最大个数，结果新且完整精细。