光滑与非光滑多项式系统的中心焦点问题和极限环个数研究

The problem of the number of limit cycles in planar polynomial systems is very challenging. Over more than one hundred years, various of research methods of studying this problem were developed and created because of the efforts of researchers at home and abroad. Recently, due to engineering applications, more and more attention has been focused on the qualitative analysis of non-smooth systems. Research methods of smooth and non-smooth systems have similarities, besides differences. In our project we study the number of small-amplitude limit cycles and center conditions in smooth and non-smooth systems. Using symbolic computation by programming in mathematical softwares and applying proper methods for different systems, we study the following problems: (1) Center-focus problem. By focus value computation or invariant algebraic curve method, we will derive necessary and sufficient conditions under which the considered smooth or non-smooth systems have a center. (2) Limit cycles in perturbed Lienard systems. We will calculate equivalent quantities of focus values and determine the number of limit cycles by proving the linear independence of the corresponding functions. (3) Zeros of higher-order Melnikov functions. We will study the properties of higher-order Melnikov functions and the number of its zeros by applying relative cohomology decompositions of one-forms and recursion formula of higher-order Melnikov functions.

平面多项式系统中极限环个数的问题具有很大挑战性，一百多年来在众多国内外学者的努力下，其研究方法有了不断的发展和创新。近年来，由于非光滑系统在工程领域的重要应用，越来越多的关注投向了对非光滑系统的定性研究。光滑系统和非光滑系统的研究方法有很大的相似性，但也有很多不同的地方。本项目研究的是光滑和非光滑系统中小振幅极限环个数和中心条件，结合数学软件编程进行符号计算，针对不同的系统应用适当的方法，主要研究以下几个课题：（1）中心焦点问题。应用焦点量计算和不变代数曲线的方法得出光滑与非光滑多项式系统中奇点为中心的充分必要条件。（2）Lienard系统小振幅极限环的个数。计算焦点量的等价量，通过证明对应函数组的线性无关性确定极限环的个数。（3）高阶Melnikov函数的零点个数。应用一次微分形式的上同调分解和高阶Melnikov函数的递推，研究其函数性质以及零点的个数。

本项目主要研究了微分方程定性理论中的中心条件问题和极限环分支问题，中心条件问题是指确定平面n次多项式系统的中心点存在条件，多项式系统的极限环分支研究是与Hilbert第16问题密切相关的，我们论文成果中提出了新的研究方法，得到了一些新的研究成果，主要有以下主要结果：.1，对于中心条件问题，我们给出了具有一类不变代数曲线的平面微分系统局部可积的充分必要条件，利用该结果我们分情况讨论了具有三次不变代数周期轨的平面三次多项式系统在不动点周围可积的充分必要条件。.2，对于多项式Lienard系统中的极限环分支，我们利用对和函数分别给出了光滑的和分段光滑的一类多项式Lienard系统在不动点周围小振幅极限环的最大个数。.3，在拟可积系统的极限环分支研究中，我们给出了利用焦点量计算研究中心点周围扰动产生的极限环最大个数的新方法，该方法在理论上与高阶Melnikov函数等价，在计算上通过符号计算更为简便，应用该方法我们证明了一类三次多项式拟可积系统至少要在7阶微小扰动下才能在中心点周围生成11个小极限环；对于微小扰动下的Hamiltonian系统，我们还给出了计算Melnikov函数展开式的新方法来研究同宿轨周围极限环分支，从而可以确定出同宿轨周围更多的极限环。