动力系统周期解与稳定性研究

本项目的研究对象主要涉及平面自治系统以及时滞与脉冲等微分系统所确定的动力系统，研究的主要问题是平面系统极限环的分支理论、时滞与脉冲微分系统周期解的存在性、分支理论及其稳定性，我们将：1.深入和系统地研究哈密顿系统的同宿环与异宿环在扰动之下极限环的分支问题和一般平面多项式的极限环个数；2.建立非光滑系统周期解分支和稳定性判定的新理论；3.研究时滞与脉冲时滞微分系统周期解存在性和几类偏泛函微分方程的行波解问题，并给出解析判定准则；4.给出中立型脉冲时滞微分系统解的存在唯一性、正则性和稳定性较为深入的结果；5.研究高阶微分方程和具Laplace算子的微分方程的边值问题，以及一些出现于物理、生物数学、神经网络、控制等领域实际模型解的稳定性和同步。以上这些问题是动力系统学科的重要问题，我们将引进新的研究方法，获得新的结果，建立新的理论。

研究了一般n 次多项式系统及一些形式较特殊的n 次多项式系统之极限环的下界估计问题，引入新的方法技巧，并把定性方法与分支方法相结合，获得了极限环个数的最新的下界。研究了非光滑动力系统极限环分支问题，把对光滑系统的研究方法拓广到非光滑系统，建立了非光滑系统的Melnikov函数的公式，通过引入广义奇点，广义同宿环等新的概念以及合适的Poincare 映射（先分段建立，后逐段复合），结合计算后继函数的展开式及其系数研究了非光滑系统的临极限环个数问题，建立了非光滑系统极限环的Hopf 和同宿分支方法。深入研究了平面动力系统同宿环与异宿环的扰动分支问题，特别是较系统地研究了含幂零尖点或幂零鞍点的同宿环的扰动分支问题，并获得了Melnikov函数的展开式形式，而且在一定条件下利用展开式的前几个系数建立了寻求多个极限环的一般方法，并利用所得一般结果研究三次及高次等多项式系统极限环的个数。研究了脉冲时滞微分方程，通过引入中立型脉冲时滞微分系统积分解、严格解的概念，应用不动点定理以及积分半群的一些基本性质，得到抽象空间中中立型脉冲时滞微分系统积分解和严格解存在性、唯一性和正则性的充分条件，并对系统在脉冲与偏差变元共同影响下的稳定性做出较为深入的结果。研究了一维脉冲系统的周期解的存在性问题，通过引入Poincare 映射，获得了扰动系统出现倍周期分支的条件。研究了一些有实际背景的生物数学模型与神经网络模型，通过构造适当的V-函数，利用M-不等式和泛函分析方法对模型做深入定性与稳定性分析，获得存在概周期解存在的充分条件，并对模型的同步性以及混沌问题做了细致研究。