几类一维的带反射边界条件的随机微分方程的分布的绝对连续性的研究

The research of reflected stochastic differential equations is a new direction of stochastic analysis developed in recent years. Through the tools of Malliavin analysis、lent particle method、Picard approximation and local time, we will study the absolute continuity of the law for some kinds of one-dimensional reflected stochastic differential equations. First of all, we will investigate the absolute continuity of the law for one-dimensional reflected stochastic differential equations driven by Brownian motion, which contains reflected stochastic functional differential equations、reflected stochastic differential equations involving the maximum processes、elliptic stochastic partial differential equations with two reflecting walls. Secondly, we shall study the absolute continuity of the law for one-dimensional reflected stochastic differential equation driven by Lévy processes, which include reflected stochastic differential equations with Markovian switching、reflected stochastic differential equations driven by subordinated Brownian motion、reflected stochastic differential equations driven by general Lévy processes. The success of this project will greatly promote the research and application of reflected stochastic differential equations, and effectively enrich the theoretical system for stochastic differential equations.

带反射边界条件的随机微分方程的研究是近年来随机分析领域新兴的一个方向。本项目将通过Malliavin分析、借粒子方法、Picard逼近与局部时等工具，研究几类一维的带反射边界条件的随机微分方程的分布的绝对连续性。首先，本项目将考察布朗运动驱动的带反射边界条件的随机微分方程的分布的绝对连续性，包括带反射边界条件的随机泛函微分方程；具有最大值过程的带反射边界条件的随机微分方程；带两个反射边界条件的椭圆型随机偏微分方程。其次，本项目将研究Lévy过程驱动的带反射边界条件的随机微分方程的分布的绝对连续性，包括具有Markovian切换的带反射边界条件的随机微分方程；从属布朗运动驱动的带反射边界条件的随机微分方程；一般的Lévy过程驱动的带反射边界条件的随机微分方程。本项目的顺利开展将对带反射边界条件的随机微分方程的理论研究和应用研究起到极大的推进作用，能够有效地丰富随机微分方程的理论体系。

随机微分方程和随机偏微分方程是现代概率论和随机分析的重要的研究领域之一，它与流体力学、量子场论、统计物理、动态规划、计算数学、生物数学、随机控制、数理金融学、滤波及气象预测预报等众多领域有着深刻的联系，并在这些领域中获得了广泛的应用。本项目研究了多值随机微分方程以及带跳的随机微分方程中的若干问题，对随机微分方程的理论研究和应用研究起到极大的推进作用，能够有效地丰富随机微分方程的理论体系。在本项目中，项目负责人得到了多值随机微分方程的中偏差原理；项目负责人建立了一维的Hölder连续系数下的随机微分方程的强Feller性与关于初值的连续依赖性；项目负责人得到了带有两个反射墙的非Lipschitz白噪声驱动的抛物随机偏微分方程的指数遍历性；项目负责人建立了一维的带有最大值过程的反射随机微分方程的分布的绝对连续性；项目负责人得到了Hölder连续系数下的Lévy过程驱动的随机微分方程的强Feller性；项目负责人建立了多值随机微分方程的不变测度的大偏差原理；项目负责人与合作者得到了Hörmander条件下的非局部算子的亚椭圆性与抛物亚椭圆性；项目负责人还建立了一维的Hölder连续系数下的一类Lévy过程驱动的McKean-Vlasov随机微分方程的适定性、Euler折线逼近的收敛速度，稳定性与强Feller性；项目负责人与合作者得到了带跳的随机泛函微分方程的密度的存在性与光滑性；项目负责人也建立了一维的反射随机微分方程的解的轨道唯一性。在本项目的支持下，项目负责人完成了SCI收录的论文10篇，期间招收了15名硕士在读，为他们的研究提供了支持，同时还邀请了国内知名学者访问4次，举办了workshop1次，扩大了在学术界的影响。