同步置换群研究及其在代数图论中的若干应用

The study of the interactions of Group theory and Graph Theory is an active topic in modern mathematics. In this project we propose to study an important class of primitive permutation groups known as Synchronizing Groups. In recent years such groups have gradually attracted much attention in the literature. The main reason is that the Synchronizing Property has a very close relation to branches of mathematics such as Permutation Groups, Semigroups, Combinatorics, Code Theory and Finite Geometry. In this program we propose to study synchronizing groups with extra conditions, such as synchronizing groups with soluble stabilizer, simple synchronizing groups. Then we introduce a class of symmetric graphs called Synchronizing Graphs, and analyze the properties of such graphs.

本项目拟研究的主题是数学中群论和图论的一些交互作用。研究的主要内容为一类重要的本原置换群---同步群，以及同步群理论在对称图中的一些应用。同步群理论由于与经典本原群理论，半群理论，编码理论，组合理论，及有限几何理论的密切联系，近十年来逐渐引起数学工作者的重视。本项目拟对一些具体的同步群进行研究，包括仿射型同步群，可解同步群，交错型同步群和零散单群型同步群。在可能的情况下希望得到这些同步群的分类。然后研究同步群在一些组合体特别是对称图上的作用。具体地，研究一类称为同步图的对称图。研究成果可望丰富与完善经典的置换群理论及对称图理论。

本项目为2015年立项的为期四年的地区科学基金项目。参加人员为一位教授（主持），一位副教授, 一位讲师，几位硕士研究生。本项目主要研究数学中群论和图论的一些交互作用。研究的主要内容为一类重要的本原置换群---同步群，以及同步群理论在对称图中的一些应用。同步群理论由于与.经典本原群理论，半群理论，编码理论，组合理论，及有限几何理论的密切联系，近十多年来逐渐引起数学工作者的重视。本项目主要对一些具体的同步群进行研究，包括仿射型同步群，可分型同步群。通过和一些国际著名数学家的密切合作，本项目的研究取得了有关同步群的一些重要结果，包括解决了同步群理论中著名的Cameron猜想：仿射型同步群一定是可分群。此外得到了同步群的两种重要刻画：组合刻画和群伦刻画。研究了同步群在一些组合体特别是对称图上的作用。在同步群的Cameron理论的基础上建立了同步群和图的核图之间的密切联系，对一些对称Cayley图完全确定了其核图。此外还研究了一类称为 同步图的对称图。研究成果丰富和完善了经典的置换群理论及对称图理论。对对称图的核图的研究可望在国内引入代数图论中一个新的研究领域：图的核图的研究。研究方法和结果有重要的理论意义。. 到目前为止本项目一共完成科学论文9篇，其中6篇已经正式发表，3篇投出去在审。一共培养硕士研究生8人，其中6人已经毕业获得硕士学位，两人在读。