李群表示论的轨道方法及其在几何代数中的应用

In this programme we will focus on the orbit method in representation theory of Lie groups and its applications to geometric and algebraic problems, say, prehomogeneous vector spaces, Symplectic Lie algebras, left-symmetric algebras and Einstein metric etc. We will try to find more Frobenius Lie subalgebras corresponding to coadjoint orbits of Lie group G and will study the relationship between the representations of the Frobenius Lie subalgbras and the represnentations of G. We will generalize the theory of square integrable representations of nilpotent Lie groups to solvable or more general Lie groups with Frobenius structure. We will classify the prehomogeneous vector spaces of reductive Lie groups and consequently will classify the left-invariant flat connections on reductive Lie groups. We will study left-symmetric algebras and Rota-Baxter algebras by means of Symplectic Lie algebras. We will study left invariant (pseudo-Riemannian) Einstein metrics on Lie groups by algebraic methods.

本项目计划在李群表示的轨道方法以及相关的几何、代数结构等方面开展研究，例如预齐性空间，辛李代数，左对称代数，爱因斯坦度量等。我们寻求李群G的余伴随轨道对应的Frobenius子代数并研究其表示与群G的表示的关系；利用Frobenius结构将Wolf在幂零李群的平方可积表示方面的研究推广到具有Frobenius结构的可解群乃至一般群情形；给出约化群上的预齐性空间的分类并得到其上的左不变平坦联络的分类；利用Symplectic李代数研究左对称代数和Rota-Baxter代数；利用代数方法研究李群上的爱因斯坦（伪）黎曼度量。

本项目在李群表示的轨道方法以及相关的几何、代数结构等方面开展研究，在预齐性空间方面，我们基本得到了约化Lie群的cuspidal预齐性空间的分类，利用Lie代数上的辛结构给出了其中Rota-Baxter算子的构造，得到了辛Lie代数、伪黎曼左对称代数、Rota-Baxter Lie代数的序列，并且得到了半单Lie代数上的Rota-Baxter算子的部分结果。我们研究Lie群及齐性空间上的不变度量尤其是Einstein度量，构造了SO(n), Sp(n)上的非自然约化的Einstein度量。证明除了SU(3),E8,G2外的紧单李群上都有m-quasi-Einstein度量，每个紧单李群上都有非平凡m-quasi-Einstein Lorentzian度量，且这些度量多数有无穷多个，此外，一些非紧单李群上也有无穷多m-quasi-Einstein Lorentzian度量。给出了Ledger–Obata空间F^4/diag(F) 上的不变Einstein度量的分类，并估计了F^m/diag(F)上的不变Einstein度量的个数。给出了5维具有non-Killing向量场的Lie群的分类，并证明了(n,1)、(n,2)情形，这些Lie群都是可解的。我们给出了Lie代数的生成指标的概念，得到了生成指标为2、3的Lie代数的分类。这部分结果与传统的Lie代数的指标理论不同。