约化群酉表示的branching law及其应用

Branching law在李理论的众多问题的研究中乃至很多数学分支的研究中起到了至关重要的作用。它与理论物理的breaking symmetry有密不可分的联系。Kostant在对Lie群情形做了开创性的工作。Knutson-Tao近几年也在此领域取得突破。非紧群的branching law可追溯到Harish-Chandra等人的（g,K）-模理论和Howe对应。近年来，Kobayashi在此领域做了有益的尝试提出了一些猜想。我们将利用我们对于Dirac算子和酉表示的研究成果在此领域进行探索，现已得到一些新结果，包括Kobayashi猜想的部分证明。在对称空间的嵌入问题的研究中，branching law也发挥了意想不到的作用，我们已基本可以解决球面、射影空间到对称空间的嵌入问题，对于一般问题的研究也正在进行中。

本项目从Lie群酉表示的branching law以及相关的几何、代数结构等方面开展研究。主要研究内容有：1) 我们证明了Branching law的Kobayashi猜想的部分结果，并得到了离散序列表示的分解的另一个解释；2) 将约化群的酉表示的Dirac算子和Dirac上同调的一些成果结合Howe duality运用到酉表示的branching law的研究中得到了Littlewood-Richardson公式的推广，简化了Enright-Willenbring的工作，并利用所得结果研究了例外李群的Quaternionic表示与幂零轨道的关系，验证了Vogan猜想的特殊情形；3) 利用Harish-Chandra和Lepowsky的工作得到得到了紧李群表示与Lie超代数表示的对应关系，这可以看作Howe duality的推广；运用表示理论和极大李子代数的对合扩张理论给出了一个新的方法来进行典型黎曼对称空间的全测地浸入的分类，并对从对合是内自同构的典型黎曼对称空间的浸入的稳定性进行了讨论，给出了一个稳定性的判定方法；得到伪黎曼李代数都是可解的这一重要结果；提出了李代数的生成指标的定义，并给出了相应李代数的刻画;通过找出秩大于1的齐性黎曼流形上的所有不变Killing场，给出了这些流形不变Einstein-Randers度量等一系列结果;得到了n-李代数的一些结构性结果。.项目执行期间，主持人曾到香港科技大学、日本北海道、九州、京都、东京等大学访问，与黄劲松、H. Yamashita, K. Nishiyama等人展开了合作交流。并组织国际会议3次，应邀出席在日本举行的国际会议2次并做学术报告。