李超代数表示的Poisson（辛）超几何方法

There is a close relation between quantization of the Poisson (sympleictic) geometry and represenation thery of Lie algebras. Finite W algebras are important non-commutative algebra in representation theory, which also have deep phyiscal backgrounds. Losev founds an important relation between the structure of finite W algebra and enveloping algebra U(g). By using this connection he solves many important problems in the representation of finite W-algebra and semisimple Lie algebras. Based on Poisson (sympleictic) geometry, he also develops a orbit method in the reprsentation of semisimple Lie algebras. The purpose of the present project is to establish a super version of the above mentioned theory. At first，We will give a formal super Darbox-Weinstein theorem and then use it's equivariant quantum version to realize the finite W super algebras. Secondly, we will use this to construct the lowest dimentional representation of finite super W algebra( which will solves super Kac -Weisfeiler conjecture). Finally, we will establish a super version of orbit method in the reprsentation of semisimple Lie algebras, namely we will classify the representation of Lie super algebra in terms of coadjoint orbits.

Poisson（辛）几何的量子化与李代数的表示理论有密切的联系。有限W-代数是表示论中非常重要的，具有很深物理背景的非交换代数。Losev 用Poisson（辛）几何的方法发现了W-代数与其对应的李代数包络代数U(g)结构之间的重要联系，并利用它解决了很多有限W-代数，与半单李代数表示理论的问题。他还发展了一套基于Poisson（辛）几何的复半单李代数表示的轨道方法。本项目旨在于建立上述理论的超版本。首先我们证明等变量子超Darbox-Weinstein定理并用它实现有限W-超代数。其次我们用该实现构造研究有限W-超代数的有限维表示（这将解决超Kac-Weisfeiler 猜想)。最后我们建立李超代数表示的轨道方法，即用余伴随轨道描述李超代数不可约表示的分类。

有限W-超代数为仿射W-超代数的Zhu代数. 后者在数学物理，几何学中有重要应用. 它包括被熟知的N=1,2,3,4 超拱形代数. .Zhu 函子在这两类W代数的某些表示范畴之间给出一等价关系,因而有限W-超代数的表示与仿射W超代数的表示密切相关. .本项目主要研究有限W-超代数的结构及其有限维表示表示理论. 研究方法上借鉴Losev 关于W-代数的完备化及Poisson 几何中的Darboux-Weinstein分解理论. .主要成果为: 通过Weinstein 切片的方式实现了有限W-超代数，从而建立了李超代数和相应有限W-超代数之间的联系; 发现了有限W-代数和W-超代数的之间的类似于.李代数和李超代数之间的联系; 进而给出了I型李超代数对应的有限W-超代数的有限维单模分类及特征表示公式. 该项目的首要意义在于发现了有限W-代数和W-超代数实质联系，从而能把有限W-代数已有结果应用于有限W-超代数. 相较于已有通过生成元和生成关系研究有限W-超代数，大幅度简化了有限W-超代数的研究难度。