李(超)代数，代数(超)群模表示及其一些几何性质研究

Representations of Lie (super) algebras and algebraic (super) groups in prime characteristic and related topics are important research fields. Many kinds of new and deep mathematical thinkingness are in pregnancy and in fast development, which is a chance for all researchers. This project is aimed at great achivement in some mainstreams of these research topics, as a sequence of the former one undertook by the applicants. The main research contents are as follows:(1) modular representatons of reductive Lie algebras and of basic classical Lie superalgebras with focus on the classification of irreducible modules, character formulas, and block structure of related representation categories. These topics are in some close connecton to finite W-algebras, Springer fiber，equivarient K-theory and invariant theory.(2)With use of algebraic D-modules, to study irreducible representations of Cartan type Lie algebras and the connection among some related categories.(3)To study some geometric aspects arising from the deformation of representations and from the fibers of adjoint quotient map, and from the action of related algebraic groups in the topics mentioned above. In summary, this is a project involving the deep connection between modular representation theory of Lie algebras with related algebraic varieties and with geometric aspects arsing from the action of algebraic groups.

素特征域上李(超)代数与代数(超)群的表示及相关课题是重要数学研究领域。各种新的深刻数学思想正在孕育与发展。这给我们研究带来了极大机会。项目组拟在其原有成果基础上继续相关研究，期望在主流问题研究上获得新突破，取得更大成绩，同时期望在新的理论与方法上也有实质性的发展。 所开展的研究主要包括如下: (1)围绕模表示中简约李代数与基本典型李超代数不可约模的完全分类,特征标确定以及给定表示范畴的块结构等关键问题开展研究； 这些课题与有限W代数、Springer纤维、旗簇上的等变K理论及不变量理论研究密切关联。(2)利用代数D-模理论, 研究素特征域上Cartan李(超) 代数的不可约表示及相关范畴上的深刻关系。(3)对以上课题中表示的变形与伴随商映射纤维的几何,特定表示范畴引起的代数簇、相关代数群伴随、余伴随作用的几何系列问题开展研究。这是一个涉及代数群、代数簇与李代数表示理论之间深刻关联的课题。

本项目旨在研究素特征域上李（超）代数与代数（超群）的表示以及相关的几何性质。本项目圆满完成研究计划， 获得丰富的有高水准的研究成果。以下按原定目标逐条列出如下：（1）关于基本典型李超代数模表示特征标与Kac-Weisfeiler性质不可约模存在性以及简约李代数模表示Friedlander-Parshall猜想等基本核心问题上取得突破性成果。对于前者首先建立有限W-超代数的PBW理论，最后完成Kac-Weisfeiler模存在性结果。该系列成果涉及面广泛，是简约李代数模表示Premet-Losev理论的发展。系统研究简约李代数的模表示有关Parabolic诱导模的不可约性Friedlander-Parshall等问题并取得突破进展。发表系列论文。(2)在Cartan型李代数几何表示问题上，解决了Premet猜想等重要问题，建立Borel子代数共轭类与引起的代数簇等几何工具获得了新的研究平台。特别是与Rolf Farnsteiner合作，引入Weyl群概念并证明相关的Chevalley限制定理。完成了秩一非限制的单李代数的幂零轨道刻画等成果。（3）对于相关几何问题的研究同样取得了显著成果。完成了素特征域上正交以及辛型代数群的幂零轨道闭包的正规性成果。（4）引入超Weyl群并证明类似“最长元基本定理”从而构造模李超代数表示的Jantzen滤过与和公式并证明Principal Linkage定理。（5）以上每一项成果同时包含了新的数学研究平台的建立。其将会在下一期的国家自然科学基金项目研究中成为主要的工具、内容与研究目标。