素特征域李(超)代数，代数(超)群表示与相关几何问题研究

We will study representations of Lie (super) algebras in prime characteristic. The main topics are the following: modular representations of reductive Lie algebras and of basic Lie superalgebras, of Cartan-type Lie algebras; finite W-algebras and their representations, and associated geometri aspects, espcially geomety properties arising from algebraic group action on varieties, and their connections with representation theory.

素特征域上李(超)代数与代数(超)群表示及相关课题是重要数学研究领域。计划在我们原有成果基础上继续相关研究.(1)围绕简约李代数与基本典型李超代数不可约模完全分类,特征标确定以及给定表示范畴的块结构等核心问题开展后续研究;涉及W代数、幂零轨道及辛几何,同时与Springer纤维,旗簇上的等变K理论,Springer理论等密切关联.(2)对于非简约代数群的李代数,将突破既有框架建立Cartan型李代数几何表示理论.(3)发展Losev-Fedosov辛流形量子变形理论相应的超几何理论.从而完成Premet-Losov关于有限W代数表示的相应超代数理论,以及相应素特征域上Kac-Weisfeiler超表示理论. (4)对以上课题中表示的变形,特定表示范畴引起的代数簇,相关代数群伴随,余伴随作用的几何系列问题及其表示意义的反馈等开展研究. 课题涉及代数群,代数几何与李代数表示理论之间深刻联系.

结题概要：本项目旨在继续对素特征域上李（超）代数与代数（超）群表示深化研究。本项目圆满完成计划，获得多项高水准的研究成果，并揭开一系列新的数学现象开始了表示论方面新内容的研究。以下按照原定目标陈述如下：（1）关于简约李代数（代数群）、经典李超代数（代数超群）的模表示研究方面：证明了项目负责人（舒斌）提出的支柱簇猜想在典范情形成立（极小幂零轨道情形、大部分A型B型）。这是该领域的一个重要进展。 证明了Friedlander-Parshall关于Parabolic小Verma模不可约性问题的充要条件。完全决定了素特征域上例外型基本典型李超群的不可约表示同构类。同时对于它们的某种广义结构（Enhanced Reductive Algebraic Groups）系统研究了其幂零轨道与相关的几何理论（Springer理论）。研究了这些广义结构的抛物Schur-Weyl对偶，并引入（退化）二重Hecke代数建立有普遍性的新理论。（2）完成Cartan型几何框架初步构作（Borel共轭类分化）。对于Cartan型李代数完全给出了对应有极小Parabolic范畴的Block分块，并对无限维的向量场李代数，研究其范畴O，得到了不可分解Tilting模的特征标公式。（3）建立Losov-Fedosov辛型超流形变形理论并给出了有限W超代数几何实现。（4）前期研究已经孕育了新的研究方向与研究平台，进入初步研究状态。同时开启后续自然科学基金研究项目的新课题研究。