齐次型的华林问题与G-Z对

多项式环上的齐次型的华林问题是数论中华林问题的类比, 主要是研究齐次型的幂和分解，即将齐次型分解为若干线性型的幂次之和. 这一问题与代数几何中secant簇的研究密切相关, 并在信号处理、计算复杂度理论等方面有着重要应用. .本项目将研究关于齐次Keller映射的华林问题, 并考虑它对Jacobi猜想的一个应用. 具体地, 我们将研究齐次Keller映射F=X+H的华林秩(即最小的正整数s使得H的各分量可以同时分解为某s个线性型的幂次之和)，由此来寻找F的维数尽可能低的"G-Z对"G, 进而通过G来刻画F的性质(包括可逆性). 同时, 我们也将从另外一个侧面来考虑这个问题，即对取定的正整数s, 来研究华林秩等于s的齐次Keller映射满足哪些性质.

本项目考虑了多项式环上齐次Keller映射的华林问题并对Keller映射的可逆性及其结构展开了深入研究. 具体完成了以下工作： (1) 研究了华林秩较小的Keller映射的结构, 考虑了“G-Z对”的性质并改进了“G-Z对”的计算方法； (2) 刻画了多项式代数的几类收缩，并由此考虑了保持外秩的多项式映射的可逆性，证明了当其满足Jacobi条件, 或其像集中包含坐标多项式，或其具有一个不动点时，必为可逆映射； (3) 由于多项式代数上Keller映射的结构与自由结合代数上自同构的结构密切相关，我们也考虑了自由结合代数上自同态可逆的必要条件，并由此给出了一些新的wild自同构.