层论观点的RO(G)环分级等变上同调理论——及其在长时距面板数据研究上的应用

本项目从层理论的观点来研究RO(G)环分级的等变上同调理论，并从统计、数学理论的交叉视角对"基于谱序列的长时距面板数据方法"进行研究。主要研究内容包括：(1) RO(G)环分级的等变Bredon上同调的层理论研究，建立等变Bredon上同调与Cech超上同调的同构关系；(2) 应用代数、几何成果改进和拓展长时距面板数据方法，应用谱序列的升维思想来改进面板数据研究的数理基础。.本项目的研究意义在于：（1）把代数观点的等变上同调理论引入到代数几何的研究中。对于等变领域的几何研究对象，打开综合从代数、拓扑、几何观点入手研究的思路；(2)利用谱序列理论改进长期效应的面板数据方法，将面板数据方法研究连接到代数、几何领域，在传统研究视角之外提供新的基础数学视角；(3)通过面板数据方法研究对谱序列理论、上同调理论等提供新思路。

设G为有限群，令RO(G)为G的实表示环，本项目建立了基于层论的环RO(G)分次等变Bredon上同调理论。RO(G)分次等变上同调一般由拓扑spectra来定义，具有良好的代数和同伦性质，但当研究对象同时具有良好的几何性质时，我们希望把几何性质也纳入研究思路，而层论和层上同调理论正是综合研究各种形式的上同调理论最有效的工具之一，根植于层理论的RO(G)分次等变Bredon上同调理论融合了研究对象代数、拓扑、几何和微分结构，更适用于代数几何和微分几何领域的研究。.作为层论RO(G)分次等变Bredon上同调理论的一个重要应用，本项目在光滑G-流形范畴上得到了RO(G)分次等变上同调群与Cech超上同调群之间的同构定理，此Cech超上同调的系数在层链复形M(V)内，其中M是一个离散G-模，V是G的一个有限维实表示空间。相关成果已在《数学学报》期刊上发表。.通过本项目获得的上述研究成果，本项目负责人的后续研究思路是通过拓扑和代数方法将上述结论拓展到光滑实代数簇和一般实代数簇的研究。前期基本讨论结果即将发表在《Journal of Algebra》期刊上，后续深入研究已获得国家自然科学基金青年基金项目（编号：11201218）资助，现正密集开展相关研究工作。