低维环上的Gorenstein同调理论及其应用

In this project, we will study Gorenstein homological theory in the categories of modules over any associative ring, especially the homological properties over rings of small Gorenstein homological dimensions and finitely generated Gorenstein projective modules. Firstly, we will elaborate the relations between the weak Gorenstein global dimension and the global Gorenstein FP-injective dimension of a coherent ring, and investigate the construction for the rings (domains) of Gorenstein homological dimensions less than or equal to 2. Then we shall characterize (strongly) Gorenstein Von Neumann regular rings and (strongly) Gorenstein semihereditary rings in terms of (strongly) Gorenstein FP-injective modules. Further, we introduce and investigate super-finitely presented modules and (Gorenstein) super-finitely presented dimension of a ring R. In order to characterize the Holm's Conjecture about finitely generated Gorenstein projective modules, we will link up the study of finitely generated Gorenstein projective modules in Gorenstein homological algebra with the study of super-finitely presented modules. Finally, we expect to give an affirmative answer to an open question raised by Mahdou et al. about Gorenstein hereditary rings.

本项目将研究结合环上模范畴的Gorenstein同调理论，特别是低维环的Gorenstein同调性质和有限生成Gorenstein投射模．阐明凝聚环的弱Gorenstein整体维数与整体Gorenstein FP-内射维数之间的关系，刻画Gorenstein同调维数不大于2的(整)环的结构特征，利用(强)Gorenstein FP-内射模来刻画(强)Gorenstein Von Neumann正则环与(强)Gorenstein半遗传环等；研究超有限表现模以及环的(Gorenstein)超有限表现维数的同调性质，并将Gorenstein同调理论中的有限生成Gorenstein投射模的研究与超有限表现模的研究结合起来，刻画关于有限生成Gorenstein投射模的"Holm系列猜想"；期望解决Mahdou等人提的一个关于Gorenstein遗传环的公开问题。

本项研究内容主要包括：结合环上的模范畴中的Gorenstein同调理论，特别是低维环的Gorenstein同调性质，Gorenstein(半)遗传环的凝聚性问题，(强)Gorenstein Von Neumann正则环的结构特性，模范畴的Gorenstein FP-内射性问题，超有限表现模以及覆盖与包络理论，维数理论，复形的同调理论等。在国家自然科学青年基金的资助下，本项研究取得了一系列的成果：对任一正整数n，研究了n-强Gorenstein FP-内射模，并利用该模类刻画了n-强Gorenstein Von Neumann正则环；研究了超有限表现模的同调性质，进而引入了弱内射与弱平坦模以及模的弱内射与弱平坦维数的概念，刻画了环的超有限表现维数，证明了任意环上模的弱内射与弱平坦覆盖和预包络的存在性；利用超有限表现模的方法清晰描述了Gorenstein遗传环的结构特性，解决了关于Gorenstein遗传环的凝聚性的一个公开问题；引入了弱内射与弱平坦复形的概念，建立了复形及其各层次模的弱内射性与弱平坦性之间的关系，证明了复形的弱内射与弱平坦覆盖和预包络的存在性；此外，还研究了n-余纯投射模的性质、Gorenstein余挠模和Gorenstein余可解范畴以及与内射可解子范畴相关的同调性质。本项研究在超有限表现模与Gorenstein遗传环的凝聚性等方面所得成果具有重要的理论意义和学术价值，为Gorenstein同调代数中的低维环的结构和性质的刻画提供了有效手段。