基于正交函数系的非线性时滞系统模型降阶方法及其应用

The simulation of large scale systems is bound to be extremely costly, forcing the engineer to simplify mathematical models on hand. Model order reduction (MOR), replacing a complex model of high order with a lower order one, is a powerful tool for the system simplification. Time-delay systems fall into the type of infinite dimension systems, for which the existing reduction methods are available only for the linear case, while the case of nonlinear and time-varying delay systems is intractable in general. The project aims to construct a set of methodology for MOR of nonlinear time-delay systems by using the orthonormal function expansion of systems. At first, we focus on the orthonormal function expansion of systems, the definition of system parameters, as well as the theoretical framework of the expansion-based MOR method. Then by combining the trajectory piecewise-linear approach with the discrete empirical interpolation method, a novel reduction method for nonlinear time-delay systems is produced. The stable reduced model with time delays can be obtained readily via the new method. Furthermore, we apply the proposed reduction method to the computation of numerical solution of partial differential equations (PDEs), and present an efficient parallel algorithm which is executed by combining MOR and waveform relaxation. Theoretical results obtained from this project not only provide us with new insights for the numerical computing of PDEs, but also allow us to design, optimize and control high order systems on computer faithfully.

大型复杂系统的计算机仿真往往耗费巨大，促使工程人员对建立的数学模型进行简化。模型降阶采用低阶模型近似高阶系统模型，是实现模型简化的有效方法。时滞系统一般属于无穷维系统的范畴，现有降阶方法仅能处理特殊的线性时滞系统，对实际问题中普遍存在的时变延迟以及非线性时滞系统不适用。本项目基于系统的正交函数系展开，拟建立一套处理强非线性时滞系统的新型模型降阶理论方法。重点研究时滞系统的渐近展开以及特征参数，采用子空间投影方法建立基于正交函数系的模型降阶理论；在此基础上，综合线性化方法和离散经验插值方法的优势建立非线性时滞系统的高效模型降阶方法，构造能够保持系统时滞特性和稳定性的高精度降阶系统。进一步，将建立的模型降阶方法与波形松弛方法结合，针对时滞偏微分方程设计以模型降阶为加速手段的高效并行算法。本项研究将为处理有关大系统的计算机设计、优化与控制提供理论基础，为研究大规模科学计算问题提供新的思路和方法。

时滞系统属于无穷维系统的范畴，现有模型降阶方法仅适用于特殊的时滞系统，对实际问题中的一般时滞系统不适用。本项目通过研究时滞系统的正交函数系展开，建立非线性时滞系统的新型模型降阶理论方法。主要研究结果有：（1）借助Taylor级数实现了时滞系统在一般正交多项式下的渐近展开，在此基础上建立了时间域的保结构模型降阶方法，分析了时域参数结构和降阶系统的性质。方法适用于双边投影算法，以及包含多重延迟、导数项延迟等情形。（2）提出了时滞系统基于正交函数系的频域降阶方法，证明了Laguerre系数生成高维Krylov子空间，通过分析系统特征方程证明了降阶系统的参数匹配性质。（3）通过定义时滞系统的Gramian矩阵，定量刻画了时滞系统的可控性和可观性能量，在此基础上建立了时滞系统的平衡截断方法。在H2范数意义下分析了降阶系统误差，采用主子空间投影方法保持了系统的稳定性。（4）详细分析了Gramian矩阵与系统正交函数系展开的关系，提出了计算Gramian矩阵的两种低秩近似算法，使得平衡截断方法高效地应用于大规模时滞系统的降阶问题。（5）采用稀疏优化方法解决了DMD的模态选择问题，通过设定每个模态预的独立加罚系数建立了计算DMD主要模态的自适应模型，实现了DMD模态的自适应选择。（6）针对强非线性问题，提出了先分离系统的线性主部，再执行DEIM近似的两阶段方法，并建立了两种分离系统线性主部的算法，通过RBF网络和偏最小二乘实现了系统降阶的误差补偿，提高了POD、DEIM方法的降阶精度。（7）将模型降阶技术应用于非线性系统参数反问题。数值实验表明，采用建立的模型简化方法能够得到高精度的降阶系统，显著提高了反问题求解效率。本项目研究建立了一套针对复杂时滞系统基于正交函数系的保结构模型降阶方法，初步揭示了模型降阶技术在大规模数值计算问题中的应用潜力。