基于辅助函数方法的时滞系统的稳定性分析及应用

The construction of orthogonal system of functions , orthogonal system of　sequences defined on delay interval 　and triangulation of integral domain will be investigated for the delayed systems.The state vector will be orthogonally decomposed and approximated by the sum of　finite terms of its orthogonal decomposition. We will explore the construction　method for auxiliary functions and energy functions. Based on the Minimax　principle, the frame of theory and systematic method to establish the new versions　of continuous inequalities and discrete　inequalities will be proposed. A　series of continuous inequalities and discrete inequalities will be given.　According to the construction characteristics of these new inequalities, the new　construction method of Lyapunov functionals will be studied. With the new　Lyapunov functionals and new inequality techniques, some novel sufficient　conditions of asymptotical stability and exponential stability for the　delayed systems will be obtained by using reciprocally convex method and　convex combination. These novel sufficient conditions of delayed systems will　reduce the conservativeness of the existing stability criteria 　based　 on classical　inequalities such as Jensen inequality. 　At the same time, these novel sufficient　conditions of delayed systems will effectively reduce the number of decision　variables in free-matrix method and free-matrix-based integral inequality　method. We will also combine the orthogonal decomposition of the state vector with　non-orthogonal decomposition of the state vector to optimize the selection of　auxiliary functions. The important results and novel methods obtained by us　will be applied to design of the state estimator and synchronization analysis of　delayed systems. This project will provide an efficient and feasible research　method for the dynamic characteristics analysis of delayed systems and there are　significant scientific implication in theory and practice.

针对时滞系统，研究其时滞区间上的正交函数系、正交序列系的构建及积分区域的三角剖分，将系统状态正交分解，优化系统状态的二次正交逼近，探索相应的辅助函数和能量函数的构建方法。基于函数的极值理论，提出获取新型连续与离散不等式的框架理论和系统方法，建立一系列新的积分不等式和求和不等式。根据不等式的结构特征，研究新的Lyapunov泛函构造方法。结合新的Lyapunov泛函和新的不等式处理技术，利用倒凸方法及凸组合等方法建立时滞系统新的渐近稳定和指数稳定的充分条件，大大降低基于Jensen等经典不等式所建立的稳定性条件的保守性，有效减少自由权矩阵方法中的决策变量。探索将系统状态的正交分解与非正交分解相结合，优化辅助函数的构造，进而将研究方法与结果应用到时滞系统的状态估计及同步分析中去。项目的研究将为时滞动态系统的动态性能分析提供高效可行的研究方法，在理论和实际上都有重大科学意义。

基于稳定性理论、泛函微分差分方程理论、逼近论与最优化的理论与方法，提出了时滞区间上正交函数系的构造方法, 通过引入辅助函数，结合系统的状态构造了相应的辅助向量函数，建立了新的积分不等式和求和不等式。提出了平面区域的三角剖分方法，利用向量的正交分解和正交逼近的方法，提出了平面区域上二元多项式函数正交系及非多项式函数正交系的双正交系的构造方法，构造了相应的辅助函数和能量函数，基于函数的极值理论，建立了新的二重积分不等式，结合时滞分割方法，建立了时滞系统具有更低保守性的线性矩阵不等式形式的稳定性判据。研究了局域时滞神经网络系统，建立了时滞神经网络新的渐近稳定性条件。研究了具有区间时变时滞的静态神经网络，利用基于Legendre 正交多项式的辅助函数，建立了新的积分不等式，构造了基于二次曲线的切线方程的辅助函数，证明了二次函数的负定定理，建立了低保守性的依赖于时滞的稳定性判据。基于辅助函数方法，建立了具有更低保守性的时滞神经网络系统指数稳定性的判别准则。 我们证明了新型的alpha平方相关的倒凸不等式，利用新的Lyapunov泛函，建立了时滞神经网络相应的指数稳定性判别准则。证明了新的求和不等式，建立了离散型时滞神经网络系统渐近稳定及无源性的新判据。基于新的积分不等式和时滞分割方法，建立了含有区间时变时滞中立型Luré系统的系统绝对稳定性条件。研究了分数阶时滞Hopfield 神经网络，建立了新的稳定性和同步性判别准则。研究了时滞神经网络L2-L∞状态估计问题，给出了新的L2-L∞性能状态估计。基于事件触发机制，设计了新的M-L型事件触发条件，结合分数阶Luenberger 型伪状态观测器及分数阶Lyapunov方法，得到了具有更低保守性的分数阶神经网络的伪状态估计判据。本项目研究所取得的研究成果将为时滞动态系统的动态性能分析提供高效可行的研究方法，在理论和实际应用中都有重要科学意义。