基于混合时频分析的非线性系统模型降阶方法研究

The orders of systems arising in nature and engineering are usually very high. As an efficient method to simplify complex models, model order reduction (MOR) aims to replace a large scale system by an approximate system of lower order. The existing methods for MOR have relatively low accuracy, and generally require rigorous conditions in order to preserve the basic properties of the original systems. Especially, MOR for nonlinear systems is in its infancy. To this aim, this project intends to establish hybrid methods with quality guarantees and property guarantees for MOR of nonlinear systems based on hybrid time-frequency analysis. First, we study on how to integrate MOR methods in time domain and in frequency domain into a universal framework. Based on this result, a new method preserving the stability of original systems is achieved due to the pre-specified poles. Besides, new hybrid methods for MOR of nonlinear systems are developed in the perspective of coupled systems using system decomposition strategy. In the framework of projection method, a reduced order system is obtained, which simultaneously preserves properties of original systems in the time domain and in the frequency domain. Theoretical results obtained from this project not only provide us with new insights for MOR, but also allow us to design, simulate, optimize and control high order systems on computer faithfully.

实际物理系统/过程的建模往往得到复杂的高阶模型。模型降阶采用低阶模型近似高阶系统模型，是实现模型简化的有效方法之一。现有模型降阶方法近似精度不高，在保持系统固有性质方面缺乏普遍适用的有效算法，特别是针对非线性系统降阶的研究成果相对较少，理论框架也不成熟。本项目基于系统的混合时频分析，针对非线性系统研究新型的模型降阶方法，构造高精度保性质的降阶系统。首先，采用双边投影方法研究将时域和频域降阶纳入统一的理论框架。在此基础上，通过预先指定降阶系统奇点，建立在时域和频域保持系统稳定性的新型投影方法；针对非线性系统，借助耦合系统和分段线性化方法建立一套时频混合模型降阶方法，构造同时保持系统时域性质和频域性质的降阶系统，从而集中频域降阶方法的局部插值优势和时域降阶方法的全局拟合优势。本项目的完成将为研究大系统的模型降阶提供新的思路和方法，为处理有关大系统的计算机设计、仿真、优化与控制提供理论基础。

高维复杂系统的计算机模拟往往耗费巨大。模型降阶采用低维系统近似高维系统以减少数据存储量和计算量，是模型简化的有效手段。本项目以大规模非线性系统为研究对象，综合考虑系统时域和频域分析建立新型的模型降阶理论和方法。主要研究结果有：（1）将时间域和频率域降阶在投影方法下纳入统一的数学理论框架，证明投影方法实质上通过对系统参数满足的特征方程进行投影变换保持原系统性质，揭示了基于投影的模型降阶方法的机理，提出了借助特征方程分析降阶系统性质的方法。（2）通过在降阶过程中引入系统的时间域导数项，在正交多项式基底下分析系统时域参数的结构，建立了保结构的时频混合模型降阶方法；针对通过输入输出关系互联形成的耦合系统构造了保持系统耦合结构、时域参数和频域参数的降阶系统。（3）针对离散时间的双线性系统，建立了基于正交函数系的模型降阶方法，具体得到了系统特征参数满足的方程，分析了特征参数的结构，证明了降阶系统保持系统参数的性质。（4）提出采用扩充映射子空间提高降阶系统的稳定性，充分集合了单边映射保持稳定性和双边映射方法高精度的优势，并引入端口降阶技术解决了新方法导致的降阶系统维数快速增长的问题。（5）针对时滞非线性系统，基于正交函数系分别在时间域和频率域构造了保持系统时滞特性的降阶系统，以此为基础建立了一套能够保持系统时滞特性和结构特征的新型时频混合模型降阶方法：一方面在理论上分析了系统参数的结构，严格证明了降阶系统的性质，另一方面在算法执行上建立了从转化系统出发和系统本身出发构造降阶系统的等价性，并将二阶Arnoldi过程（SOAR）推广到高阶情形，设计了高效节省内存的高阶Arnoldi过程。本项目通过理论分析和数值模拟验证了新型模型降阶方法的有效性。