有限p群的norm与上中心群列

It is very important and interesting to investigate the relationship between the automorphisms in finite groups and the structure of finite groups. In this study, ‘norm’, a characteristic subgroup, plays an important role. The norm N(G) of a group G is the intersection of the normalizers of all the subgroups of G.. In this study, we aim to investigate the structure of finite p-groups through investigating the properties of the characteristic subgroups-norm of finite p-groups and the relationship between the norm and the upper central series, the Wielandt series and the upper central series. It will reveal the interdependent relationship between the characteristic subgroups of finite p-groups and the structure of groups based on investigating the relationship between the norm of finite p-groups, which meet the specified conditions, and the upper central series. Subsequently, it will be applied to the general finite p-groups and thereby, it will be used to push the field of investigating the structure of the groups with automorphisms..

研究群的自同构群与群的结构之间的关系是非常重要且有趣的课题。在研究幂自同构群与群的结构之间的关系时，群的一个特征子群norm起着十分重要的作用。群G的norm是指群的所有子群的正规化子的交。. 本项目旨在应用局部分析的思想，通过研究有限p群的特征子群norm的性质，以及norm与上中心群列、Wielandt列与上中心群列之间的关系来研究有限p群的结构。以建立满足特定条件的有限p群的norm与上中心群列之间的关系为出发点，揭示有限p群的特征子群与群的结构之间的相互依存关系。从而将其结果推广到一般的有限p群中。推进利用群的自同构来研究群的结构这一领域的发展。

研究群的自同构群与群的结构之间的关系是十分重要且有趣的课题。群的一个自同构称为是幂自同构，如果这个自同构把群中的每个子群都映成它自身。群的结构与幂自同构之间是紧密相连的。在研究幂自同构与群的结构之间的关系时，群的一个特征子群norm起着非常重要的作用。norm即群G的所有子群的正规化子的交，记作，N(G)。显然，norm中的每个元素都诱导群G的一个幂自同构。在norm的概念被提出之后，许多学者对于norm的性质以及norm与群的结构之间的关系进行研究。. 与 norm 相关的一个概念是 Wielandt 子群，用w(G)表示, w(G)为群G的所有次正规子群的正规化子的交。因为幂零群的所有子群都是次正规的，所以对于幂零群来讲，它的 Wielandt子群和 norm 是一样的。自从Wielandt 子群的概念提出后，许多研究者开始对群的Wielandt子群进行研究。. 本项目主要通过研究有限p群的特征子群norm的性质， 以及norm与上中心群列、Wielandt列与上中心群列之间的关系来研究有限p群的结构。对于导群循环的有限p群，在p>2时，我们得到其norm不等于其上中心群列的第二项，并且完全分类了满足norm与中心一致的二元生成导群循环的有限p群。对于capable-p群，我们给出了capable-p群的 norm与中心一致的充要条件并且完全分类了二元生成导群循环的capable-p群。此外，我们完全刻画了亚交换p群以及极大类p群的Wielandt列与上中心群列之间的关系。与此同时，我们将norm概念推广，提出了广义norm子群的概念，借助于此概念研究了有限群G的p幂零以及p长等性质。在此研究过程中，我们还完全分类了非正规的循环子群具有较大正规闭包的有限p群。